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Da das deine erste Frage ist, verweise ich vielleicht einmal auf unseren Kodex (Link oben rechts). Wichtig ist immer deine eigenen Überlegungen mitzuliefern. Zu einem Induktionsbeweis gehört ja nicht nur der Induktionsschritt, sondern auch der Induktionsanfang, die Induktionsvoraussetzung und die Induktionsbehauptung. Meist tauchen die ersten Fehler bereits beim korrekten Aufschreiben dieser "einfachen" Schritte auf. Lade sie doch also bitte mit hoch, dann können wir besser einschätzen wo du Probleme hast. Auch hilfreich ist natürlich deine bisherigen Versuche zum Induktionsschritt zu sehen.

Nun zu deiner Frage, im Induktionsschritt ist es hier wahrscheinlich besser man führt diesen von rechts nach links. Man kann mit Indexverschiebung und passender Ergänzung die Summe so verändern, dass man die Induktionsvoraussetzung besser einsetzen kann. Also zu zeigen wäre:
\[(x-y)\cdot \sum_{i=0}^k x^i y^{k-i}=\ldots =x^{k+1}-y^{y+1}\]
Man möchte ja die Induktionsvoraussetzung einsetzen. Wie könnte man nun innerhalb der Summe mit Hilfe von Indexverschiebung den Ausdruck $x^i y^{k-i-1}$ erzeugen? Muss man dann ggf. einen Summanden aus der Summe herausziehen um auch die Summationsgrenzen entsprechend der IV zu erhalten?
Poste deine Gedanken gerne in den Kommentaren, dann wird dir weitergeholfen.