Hallo ihr lieben, ich habe hier eine Aufgabe zu einem Grenzwert, wo ich nicht weiterkomme.
Ich soll den Grenzwert von:
$$\lim\limits_{n\to1}\frac{n+n^2+...+n^k-k}{n-1}$$
berechnen. Dabei ist k fest mit $k \in N$

Mein Ansatz:
Ich hab mir einfach mal ein paar k´s geschnappt, um zu sehen ob ich eine Regelmäßigkeit erkenne:
k=1: $\frac{n-1}{n-1} = 1 = \lim\limits_{n\to 1}$
k=2: $\frac{(n+2)(n-1)}{n-1} =n+2 \Rightarrow \lim\limits_{n\to 1}(n+2)=3$
k=3: $\frac{(n^2+2n+3)(n-1)}{n-1} =n^2+2n+3 \Rightarrow \lim\limits_{n\to 1}(n^2+2n+3)=6$
k=4:$\frac{(n^3+2n^2+3n+4)(n-1)}{n-1} =n^3+2n^2+3n+4 \Rightarrow \lim\limits_{n\to 1}(n^3+2n^2+3n+4)=10$
Die Folge 1,3,6,10,15,21... kommt mir recht bekannt vor, das ist der kleine Gauß $\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n(n+1)}{2} = \frac {n^2+n}{2}$

In der Aufgabe selbst sieht man ja, dass die geometrische Reihe im Zähler steht, also könnte man das ganze auch umschreiben zu:
$$\frac{\sum \limits_{q=1}^{k}(n^q)-n} {n-1}$$

Ich würde also gerne zeigen, dass:
$$\lim\limits_{n\to1}\frac{\sum \limits_{q=1}^{k}(n^q)-n} {n-1} = \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n(n+1)}{2}$$

Und da komme ich nicht wirklich weiter. Vollständige Induktion wäre natürlich was feines, aber da hab ich auch keine Idee wie das mit einem limes davor gehen soll. Habe ich vielleicht eine offentsichlichere Lösung übersehen und kann mir da evtl. jemand helfen?