Grenzwert berechnen

Erste Frage Aufrufe: 89     Aktiv: 14.12.2021 um 15:45

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Hallo ihr lieben, ich habe hier eine Aufgabe zu einem Grenzwert, wo ich nicht weiterkomme.
Ich soll den Grenzwert von:
$$\lim\limits_{n\to1}\frac{n+n^2+...+n^k-k}{n-1}$$
berechnen. Dabei ist k fest mit $k \in N$

Mein Ansatz:
Ich hab mir einfach mal ein paar k´s geschnappt, um zu sehen ob ich eine Regelmäßigkeit erkenne:
k=1: $\frac{n-1}{n-1} = 1 = \lim\limits_{n\to 1}$
k=2: $\frac{(n+2)(n-1)}{n-1} =n+2 \Rightarrow \lim\limits_{n\to 1}(n+2)=3$
k=3: $\frac{(n^2+2n+3)(n-1)}{n-1} =n^2+2n+3 \Rightarrow \lim\limits_{n\to 1}(n^2+2n+3)=6$
k=4:$\frac{(n^3+2n^2+3n+4)(n-1)}{n-1} =n^3+2n^2+3n+4 \Rightarrow \lim\limits_{n\to 1}(n^3+2n^2+3n+4)=10$
Die Folge 1,3,6,10,15,21... kommt mir recht bekannt vor, das ist der kleine Gauß $\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n(n+1)}{2} = \frac {n^2+n}{2}$

In der Aufgabe selbst sieht man ja, dass die geometrische Reihe im Zähler steht, also könnte man das ganze auch umschreiben zu:
$$\frac{\sum \limits_{q=1}^{k}(n^q)-n} {n-1}$$

Ich würde also gerne zeigen, dass:
$$\lim\limits_{n\to1}\frac{\sum \limits_{q=1}^{k}(n^q)-n} {n-1} = \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n(n+1)}{2}$$

Und da komme ich nicht wirklich weiter. Vollständige Induktion wäre natürlich was feines, aber da hab ich auch keine Idee wie das mit einem limes davor gehen soll. Habe ich vielleicht eine offentsichlichere Lösung übersehen und kann mir da evtl. jemand helfen?
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Erste Voraussetzung zur Lösung ist ganz genau auf die Variablen zu achten. Das geht bei Dir an mehreren Stellen durcheinander und dann gibt es keine Chance das Ziel zu erreichen.
Anleitung zum Beweis ohne Induktion, also direkt:
Benutze Summenzeichen im Zähler (hast Du schon). Dann nutze $k=\sum\limits_{q=1}^k 1$ und ziehe die Summen im Zähler zusammen. Dann ziehe den Nenner $n-1$ in diese Summe. Nun erkennst Du die geometrische Summenformel, schreibe dafür die entsprechende Summe. Ja, das gibt eine Doppelsumme, daher genau auf die Variablen achten.
Nun Grenzwert bilden, ein wenig rechnen und fertig.
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Danke für deine Antwort, ich bin bei der Induktion auch nicht wirklich zurecht gekommen, deswegen antworte ich mal auf diesen Ansatz hier.

Ich habe mir die Aufgabe mal etwas umformuliert, weil ich n und k lieber als Variablen in der Summe verwende, als im Term (reine Geschmackssache). -> n=x, k=n

Aufgabe: $$\lim\limits_{x\to1}\frac{x+x^2+x^3+...+x^n-n}{x-1}$$

Ich habe das mal nach deiner Anleitung umgeschrieben:
$$\frac{x+x^2+x^3+...+x^n-n}{x-1} = \frac{\sum \limits_{k=1}^{n}x^k-\sum \limits_{q=1}^{n}1}{1} = \frac{\sum \limits_{k=1}^{n}x^k-1}{x-1}$$
$$=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{x^k-1}{x-1}=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1-x^k}{1-x}=\sum \limits_{k=0}^{n-1}\frac{1-x^{k+1}}{1-x}=\sum \limits_{k=0}^{n-1}(\sum \limits_{j=0}^{k}x^j)$$

Der Limes soll ja gegen 1 laufen und die geometische Summe ist für (x=1), = k+1.
Also habe ich für den Grenzwert die Summe:
$$ \sum \limits_{k=0}^{n-1}(k+1) = \sum \limits_{k=1}^{n}k=\sum \limits_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

Sieht doch gar nicht so schlecht aus, oder? Ich hoffe mal ich hab nichts durcheinander gewürfelt und bedanke mich für deine Hilfe :D
  ─   mareike... 14.12.2021 um 13:27

Das sieht in der Tat sehr gut, schön. Die Indexverschiebung von $\sum\limits_{k=1}^n$ auf $\sum\limits_{k=0}^{n-1}$ ist eigentlich nicht nötig, am Ende schiebst Du ja auch wieder zurück. Aber falsch ist es nicht.
Wichtig für solche Grenzwertbestimmungen ist es, den Nenner wegzukriegen, denn der verhindert ja, dass man einfach x=1 einsetzen kann. Nur so als Hinweis für ahnliche Aufgaben.
  ─   mikn 14.12.2021 um 13:36

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Hallo,
ich denke die Idee mit Induktion sollte funktionieren, auch wenn ich es nur kurz überflogen habe. Du musst nur vorsichtig sein, dass du k und n nicht verwechselst. Wie du angedeutet hast, willst du beweisen, dass der Limes von n gegen 1 von \(\frac{\sum_{i=1}^{k}(n^i)-k}{n-1} =\frac{k(k+1)}{2}\). Mach den Induktionsanfang für k=1, dann ist der Rest eigentlich ein Selbstläufer. Wenn du noch fragen hast, melde dich einfach. 
LG
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Danke für deine Hilfe, ich habe den Ansatz von mikn genutzt, da er für mich intuitiver war.   ─   mareike... 14.12.2021 um 13:28

Alles klar, die Induktion hätte auch genau das benutzt, was du oben zum Beweis verwendet hast, nur eben etwas länger und arithmetisch gesehen umständlicher. Letztendlich ist es ja egal wie man zum Ergebnis gelangt...   ─   fix 14.12.2021 um 15:34

Der Nachteil der Induktion ist ja, dass man erstmal eine Behauptung haben muss, die man dann zeigen will. Hier war die Behauptung eine Vermutung. Die kann richtig sein (wie in diesem Fall), oder auch nicht. Wenn sie nicht richtig ist, weiß man beim Versuch der Induktion nicht, ob man selbst nur zu ungeschickt für den Ind.Beweis ist oder ob die Vermutung falsch ist. Wenn man durch Ausrechnen ein Ergebnis erzielen kann, ist das daher vorzuziehen.   ─   mikn 14.12.2021 um 15:45

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