Zunächst mal zu den gängigen Definitionen von Ringen:

Man nennt \( (R,+,\cdot) \) einen Ring, wenn gilt:
(1) \( (R,+) \) ist eine abelsche Gruppe,
(2) \( (R,\cdot) \) ist eine Halbgruppe,
(3) Es gelten die Distributivgesetze also \( a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c \) und \( (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \) für alle \(a,b,c \in R \).

Wenn zusätzlich zu (1) bis (3) auch noch \( (R,\cdot) \) kommutativ ist, dann nennt man \( (R,+,\cdot) \) einen kommutativen Ring.

Wenn zusätzlich zu (1) bis (3) auch noch \( (R,\cdot) \) ein Neutralelement besitzt, also ein Monoid ist, dann nennt man \( (R,+,\cdot) \) einen unitären Ring oder auch einen Ring mit Eins.

Viele Professoren legen aber irgendwannn mal fest, dass die betrachteten Ringe immer kommutative Ringe sein sollen. Das scheint bei euch auch der Fall zu sein. Da musst du also aufpassen.

So oder so reicht es jedenfalls niemals aus, einfach nur zu zeigen, dass \( (R,+) \) eine Halbgruppe oder ein Monoid ist. Für einen Ring muss \( (R,+) \) immer eine Gruppe sein. Also entweder hat sich da bei dem Beweis ein Fehler eingeschlichen oder du hast etwas falsch verstanden. Oft lassen Professoren in ihren Beweisen auch triviale Dinge einfach weg und überlassen es ihren Studenten, diese Lücken zu füllen.

Zum Thema Körper:

Man nennt \( (K,+,\cdot) \) einen Körper, wenn gilt:
(1) \( (K,+) \) ist eine abelsche Gruppe,
(2) \( (K \setminus \{0\},\cdot) \) ist eine abelsche Gruppe,
(3) Es gelten die Distributivgesetze also \( a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c \) und \( (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \) für alle \(a,b,c \in K \).

Der Unterschied zum Ring besteht also im Punkt (2). Für Matrizen ist dieser Unterschied jedoch erstmal unwichtig. Zur Definition der Addition und Muliplikation von Matrizen werden ja nur die Addition und Multiplikation der Einträge benötigt. Also kann man durchaus auch Matrizen über einem Ring betrachten. Es muss nicht immer ein Körper sein.

Ich hoffe, dass ich deine Fragen damit klären konnte :)