Wenn man souverän ableiten kann (sollte man bevor man sich an Integrale setzt), kommt man hier ohne Substitution durch. Man braucht auch keine speziellen Kenntnisse über Doppelintegrale. Man muss nur wissen, was das Integralzeichen mit dem dx bzw. dy zu tun hat.
Rechne als Nebenrechnung $\int \frac1{1+y^2} dy$ aus und danach das ganze in den Grenzen von $-\infty$ bis $\infty$. Das geht nur mit Bruchrechnung und dem angegebenen Hinweis (ohne was, was man ernsthaft Substitution nennen würde).