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Das stimmt nicht ganz, da eine Stammfunktion nicht eindeutig ist. Die Bestandsfunktion ist eine Stammfunktion, aber es gibt unendlich viele Stammfunktionen. Jede Stammfunktion unterscheidet sich von der Bestandsfunktion durch die Addition einer Konstante.
Was mit einer Integralfunktion gemeint ist, weiß ich nicht. Vielleicht ist das ein Synonym für Stammfunktion.
Nachbemerkung: Zu Integralfunktion, siehe Kommentar von stal unten.
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slanack
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Eine Integralfunktion ist eine Funktion der Form \(x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt\). Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber i.A. gilt die umgekehrte Richtung nicht.
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stal
27.01.2021 um 12:47
Ok, der Ausdruck habe ich noch nicht verwendet. Deine Aussage stimmt aber nicht: Wenn \(f\) stetig ist, dann sind die Integralfunktionen genau die Stammfunktionen. Wenn \(f\in L^1\) liegt, dann existieren Integralfunktionen, aber stellen nicht unbedingt Stammfunktionen dar. Und wenn eine Stammfunktion \(F\) existiert mit \(f\in L^1\), dann ist sie eine Integralfunktion.
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slanack
27.01.2021 um 13:07
Danke für diese Ansätze. Waren recht hilfreich.
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mathe.matik
27.01.2021 um 13:07
Eine Integralfunktion hat immer eine Nullstelle (\(x=a\)), eine Stammfunktion aber nicht zwingend. Folglich ist nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion.
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stal
27.01.2021 um 14:05
Ja stimmt, das hatte ich nicht beachtet. Dann ist Deine Aussage oben für stetige \(f\) natürlich richtig. Und meine stimmt nur modulo Addition einer Konstante.
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slanack
27.01.2021 um 16:17
Also wessen Aussage ist richtig? Meinst du die von meinem Gedankengang, dass alle 3 im Prinzip gleich sind?
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mathe.matik
28.01.2021 um 12:13
Vorweg: Mir sind die Definitionen von Bestandsfunktion und Integralfunktion nicht komplett klar, da diese in der reinen Mathematik keine Rolle spielen. Etwas googeln hat mir auch keine völlige Klarheit über die Definitionen gebracht, es scheint da unterschiedliche Sichtweisen zu geben. Was ich jetzt sage, musst Du also selber anhand der Definitionen überprüfen, die Du kennst; meine Definitionen sind vielleicht nicht die, die Ihr verwendet. Ich rate jetzt mal und lege als Beispiel folgende Definitionen fest, immer unter der Voraussetzung, dass \(f\) auf \([a,b]\) stetig ist: \(F\) heißt eine *Stammfunktion* von \(f\), wenn \(F\) differenzierbar ist und \(F'=f\) gilt. Es gilt: \(F\) ist genau dann eine Stammfunktion, wenn eine Konstante \(K\) existiert mit \(F(x)=K+\int_a^xf(s)ds\). \(F\) heißt *Bestandsfunktion*, wenn \(F\) eine nichtnegative Stammfunktion von \(f\) ist (Bestände können nie negativ sein). Und \(F\) heißt *Integralfunktion*, wenn \(F(a)=0\) gilt, oder äquivalent \(K=0\) in der Integraldarstellung oben. Die Integralfunktion ist immer eindeutig bestimmt. Mit *diesen* Definitionen wären also Bestandsfunktionen und die Integralfunktion alles Stammfunktionen. Umgekehrt gibt es Stammfunktionen, die weder Bestandsfunktion noch Integralfunktion sind. Die Integralfunktion ist nicht immer eine Bestandsfunktion. Es kann aber für spezielle \(f\) vorkommen, dass die Integralfunktion auch eine Bestandsfunktion ist. Ein Mengendiagramm hilft, das darzustellen. Alles klar?
─ slanack 28.01.2021 um 13:40
─ slanack 28.01.2021 um 13:40
Ok slanack. Ich habe nochmal darüber nachgedacht und im Allgemeinen Sachzusammenhang ergibt sich folgende Lösung.
I' = F' = f
Somit ist jede Integralfunktion I von f als auch die Bestandsfunktion F eine Stammfunktion von f solange das gilt: da man angibt, dass F(x)= F(a) + I(x) sei und F(a)=0 ─ mathe.matik 28.01.2021 um 16:22
I' = F' = f
Somit ist jede Integralfunktion I von f als auch die Bestandsfunktion F eine Stammfunktion von f solange das gilt: da man angibt, dass F(x)= F(a) + I(x) sei und F(a)=0 ─ mathe.matik 28.01.2021 um 16:22
Bis auf \(F(a)=0\) klingt das gut. Meinst Du vielleicht \(I(a)=0\)?
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slanack
28.01.2021 um 16:46