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Bahn ist definiert als \(Gm\) = {\(gm | g\in G\)} für jedes m \(\in\) M.
Transitiv ist eine Gruppenoperation wenn es für jedes \(m, m' \in M\) ein \(g \in G\) gibt mit \(gm = m'\)

Frage siehe Titel.
Wie sieht das eigentlich aus, wenn es zwei Bahnen gibt?
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Ich persönlich finde die deutsche Übersetzung des Begriffes Group Action als Gruppenoperation etwas ungeschickt, und würde in diesem Kontext eher empfehlen, von Gruppenwirkung zu sprechen. Als Gruppenoperation wird im Deutschen häufig die der Gruppe zugrundeliegende binäre Verknüpfung bezeichnet. (Allerdings ist es gut möglich, dass es die deutsche Terminologie zuerst gegeben hat, also was soll's).

Eine Gruppenwirkung einer Gruppe \(G\) auf eine Menge \(X\), häufig in Zeichen \( G \curvearrowright X\), ist eine Abbildung $$ G\times X\to X,\ (g,x)\mapsto gx$$

wobei \(gx\) nicht die Gruppenmultiplikation bezeichnet, sondern die Wirkung von \(g \in G\) auf das Element \( x \in X\).

Eine Gruppenwirkung heißt transitiv, wenn zu zwei beliebigen Elementen \(x,y \in Y\) stets ein \(g\in G\) existiert, so dass $$ gx = y $$

Was heißt das? Das bedeutet, dass du (grob gesprochen) "jedes Element mit deiner Gruppenwirkung triffst". Mit anderen Worten: Eine transitive Gruppenwirkung "mischt" lediglich die Elemente der Menge \(X\), oder mit noch anderen Worten: es existiert kein Element in \(X\), das nicht irgendwann durch von deiner Gruppenwirkung getroffen wird.

Und was heißt "durch die Gruppenwirkung getroffen werden"? Das sind genau die Orbits (Bahnen). Die Orbits sind ganz einfach die Äquivalenzklassen bzgl. der Gruppenwirkung. Soll heißen, zwei Elemente \( x_0,y_0 \in X\) liegen im selben Orbit genau dann, wenn ein \( g\in G\) existiert, so dass $$ gx_0 = y_0$$

Und da in einer Gruppe zu jedem \(g \in G\) ein (eindeutig bestimmtes) Inserves existiert, ist das dasselbe wie $$ x_0 = g^{-1}y_0$$

Um nun schließlich deine eigentliche Frage zu beantworten: Wenn die Gruppenwirkung \( G \curvearrowright X\) nun transitiv ist und somit jedes Element trifft, dann heißt das nichts anderes als dass zwei völlig beliebig gewählte \(x,y \in X\) immer im selben Orbit liegen, und wenn zwei völlig beliebig gewählte Elemente immer im selben Orbit liegen, liegen schließlich alle Elemente aus \(X\) im selben Orbit.

(Stell dir einfach vor du hast eine Äquivalenzrelation auf  einer beliebigen Menge und zwei beliebig gewählte Elemente wären immer Äquivalent bzgl. deiner Äquivalenzrelation; aus der Transitivität folgt dann dass alle Elemente zueinander äquivalent sind. Nichts anderes passiert hier. Daher auch der Name "transitive Gruppenwirkung").

Mit anderen Worten: Es gibt nur einen einzigen Orbit.

Was wäre nun wenn es mindestens zwei Orbits geben würde? Das würde bedeuten, dass es mindestens ein Element \(z \in X\) gibt, das von unserer Gruppenwirkung nie getroffen wird, egal welches Element aus \(x \in X\setminus \{z\}\) wir wählen. Mit anderen Worten: \( z\) liegt nicht im selben Orbit wie die ganzen anderen Elemente, die bzgl. der Gruppenwirkung äquivalent sind.

Das wäre aber ein widerspruch zur transitivität der Gruppenwirkung, denn diese sagt ja gerade, dass transitive Gruppenwirkung bedeutet, dass jedes Element irgendwann getroffen wird, also auch unser \(z\).

Hast du also eine transitive Gruppenwirkung  \( G \curvearrowright X\), so besteht dein Orbitraum \( G\big/{X}\) lediglich aus einem einzigen Element, nämlich deinem (einzigen) Orbit.

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