Moin,
um auf Monotonie zu prüfen, lässt man i.d.R. x>y sein, für beliebige x,y. Dass solche x,y existieren ist i.d.R. ebenfalls gesichert. Dann guckt man ob auch f(x)>f(y). Wenn das der Fall ist, spricht man von einer monoton wachsenden Funktion. Also vergleicht man \(x^3\) und \(y^3\). Falls \(x^3>y^3\), gilt auch \(x^3-y^3>0\). Das kann man dann faktorisieren. Wenn x negativ is und y positiv, so folgt die Behauptung sofort. Außerdem soll gelten \(0<x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\). Wenn x und y gleiches Vorzeichen habe ist der zweite Term auf jeden Fall positiv und der erste Term nach Konstruktion ebenfalls positiv. Es gilt also für alle x>y, dass f(x)>f(y) \(\Leftrightarrow\) f ist streng monoton wachsend. 
So eine Überprüfung ist notwendig, da oft in Schulen nur eingeführt wird, dass eine Funktion genau dann streng monoton ist, wenn die Ableitung >0 ist. Im Fall von \(f(x)=x^3\) ist jedoch die Ableitung in 0 0, die Funktion aber trotzdem in \(\mathbb{R}\) streng monton.
LG