(Twitter)
0
Ich versuche gerade nachzuvollziehen warum die Folge $ a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ gegen $e$ konvergiert.
Ich konnte den Term zu $e^{n\ln(1+\frac{1}{n})}$ umformen. Der Exponent muss ja jetzt gegen $1$ gehen. Aber wie man das jetzt weiter umformen kann, um das nachzuvollziehen, verstehe ich nicht.
Ich konnte den Term zu $e^{n\ln(1+\frac{1}{n})}$ umformen. Der Exponent muss ja jetzt gegen $1$ gehen. Aber wie man das jetzt weiter umformen kann, um das nachzuvollziehen, verstehe ich nicht.
Diese Frage melden
gefragt
danieldev
Punkte: 22
Punkte: 22
Ein ausführlicher Beweis (welcher l'Hospital nicht voraussetzt) findet sich im Wikipedia-Artikel "Eulersche Zahl" am Ende des Abschnittes "Definition".
─
m.simon.539
25.08.2024 um 15:15
$ \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty}e^{n\ln(1+\frac{1}{n})} = e^{\lim_{n \to \infty}n\ln(1+\frac{1}{n})}$
$= e^{\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}}$
Mit L’Hospital und Kürzungen kommt man dann leicht zu $e^1$
─ danieldev 24.08.2024 um 22:15