GgT und kgV für Uni

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Bräuchte bitte Hilfe =)

 

Hab jetzt den ggT auf diese weise bestimmt:

Satz: f. Alle a,b aus Z gilt ggT(a,b)=ggT(a,a-b)  (( gilt das immer?, muss ich irgendetwas beachten?))

ggT(8k+5,3k+1)ggT(8k+5-2*(3k+1),3k+1)=ggT(2k+3,3k+1)=ggT(3k+1-(2k+3),2k+3)=ggT(k-2,2k+3)=ggT(2k+3-2*(k-2),k-2)=ggT(7,k-2)

Fallunterscheidung

1.F.: ggT(7,k-2)=7 für 7|k-2.

2.F.: ggT(7,k-2)=1 für 7 |(nicht) k-2.

 

gefragt vor 6 Monaten, 2 Wochen
g
glanma94,
Student, Punkte: 49

 
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2 Antworten
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Also über eine konkrete Lösung müsste ich nochmal länger nachdenken, aber ggT von 1 wird nicht stimmen. Wenn \( k = 2 \) ist, dann ist der ggT von 21 und 7 gesucht und das wäre ja 7.

Die Aufgabenstellung lässt ja vermuten, dass es auch eine Lösung in Abhängigkeit von k sein soll.

geantwortet vor 6 Monaten, 2 Wochen
el_stefano
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 4.79K
 

Hmm, da hast du wohl recht. Befind ich mich da in einem Restklassensystem von 7 oder 1? weis jetzt spontan nicht ob ich mich jetzt richtig ausgedrückt habe   ─   glanma94, vor 6 Monaten, 2 Wochen

aber dass gäbe ja auch keinen Sinn insofern die Lösung von k abhängen soll. Und den ggt als k-2 zu betrachten wäre wohl auch unsinn nehm ich jetzt mal an.   ─   glanma94, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Ja das könnte irgendwie sein. Habe mal für k = 1 ... 10 mir die ggT angeschaut. Nur für k = 2 und 9 habe ich bisher einen ggT von 7, sonst von 1.   ─   el_stefano, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Ich weis nicht ob das Zufall ist, aber das ist es in Mathe ja selten: Wenn ich mich nicht vertu hab ich dann bei 7*n+2=k den ggT 7 (0*2+2=2=k--> ggt 7, 1*7+2=9=k ggt 7 2*7+2=16 selber ggT ) aber wie komm ich jetzt Mathematisch korrekt rechnerisch auf das ? =) has du vlt eine idee?   ─   glanma94, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Nein sorry, damit kann ich gerade nicht dienen. Die gleichen Überlegungen hatte ich auch schon, aber konkrete formelle Argumente fehlen mir da auch.   ─   el_stefano, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Danke Td =)   ─   glanma94, vor 6 Monaten, 2 Wochen
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Deine Herleitung und das Ergebnis ist richtig :)

Den Satz \(ggT(a,b)=ggT(a,a-b)\) gilt in der Tat immer und du kannst ihn ohne Bedenken anwenden, wenn da steht "gilt für alle a, b aus Z".

Um den kgV zu berechnen benutz dann einfach die Formel \(ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b\) mit derselben Fallunterscheidung.

Das vollständige Ergebnis ist dann:

1. Fall: \(7\mid k-2\)
\(ggT(a,b)=7\)
\(kgV(a,b)=\frac{1}{7}(8k+5)(3k+1)\)

2. Fall: \(7\nmid k-2\)
\(ggT(a,b)=1\) 
\(kgV(a,b)=(8k+5)(3k+1)\)

Das kannst du dann selber noch ausmultiplizieren ;)

geantwortet vor 6 Monaten, 2 Wochen
s
silasalberti
Student, Punkte: 25
 

Ich habe doch nur gesagt, dass nicht allgemein gilt, dass der ggT = 1 ist in diesem Fall. Dazu habe ich das Beispiel k = 2 angeführt und gezeigt, dass dafür eben ggT(21,7) = 7 gilt.   ─   el_stefano, vor 6 Monaten, 2 Wochen

In seiner Antwort steht, dass der ggT=7 ist in diesem Fall. Hat er es vielleicht bearbeitet?   ─   silasalberti, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Ja hat er bearbeitet, seine erste Herleitung / Schlussfolgerung war, dass der ggT immer 1 sein könnte. Das habe ich dann eben anhand von Beispielen widerlegt. Der formelle Beweis hat mir dafür allerdings gefehlt, aber den hast du ja jetzt zum Glück geliefert ;)   ─   el_stefano, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Ok, dann hab ich jetzt die entsprechende Zeile entfernt :)   ─   silasalberti, vor 6 Monaten, 2 Wochen

Sry wollt hier nicht für unklarheit sorgen. =)
Hab nur dacht ich hau das "Falsche" raus und nehm nur das richtige rein. =)

Und danke für kgV und die Antwort im allgemeinen. Hab das genau so
  ─   glanma94, vor 6 Monaten, 2 Wochen
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