Extrema von Quadervolumen finden mit Nebenbedingung

Aufrufe: 64     Aktiv: 12.06.2022 um 12:05

1

Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:


Ich habe diese Aufgabe mithilfe des Lagrange-Verfahrens mit 2 Determinanten gerechnet (siehe Rechnung unten). Beim Blick auf die Lösung ist mir dennoch aufgefallen, dass meine Volumenfunktion anscheinend nicht stimmt und das Ergebnis 32 Volumeneinheiten beträgt (also das 8-fache von meinem Ergebnis). Diesen Vorfaktor konnte ich mir bisher nicht erklären und frage mich was ich nicht beachtet habe? Meine Vermutung ist, dass sich die x y z-Werte multipliziert sich wohl auf das 1/8-fache des Gesamtvolumens beziehen, aber ich kann mir nicht erklären warum..


Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 54

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1
Fehler beim Ausklammern: $8z^2y-2x^2y\neq 2y(4z^2-2x^2)$

Edit: Okay, hatte mir die weitere Rechnung nicht mehr angeschaut. Rechnung stimmt soweit, allerdings hast du etwas wifchtiges vergessen. Du hast angenommen, dass der Punkt $(0,0,0)$ eine Ecke des Quaders ist und betrachtest den Quader daher nur in einem Oktanten, weshalb dein Volumen nur ein Achtel ist. Wenn du alle 8 Kombinationen von $(x,y,z)$ als Eckpunkte nimmst, erhältst du das richtige Volumen. Anschaulich sollte das klar sein. Stell dir das ganze mal zweidimensional mit einem Kreis und einem Rechteck vor.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 23.04K

 

Danke für den Hinweis. Habe das bereits gesehen, nur vergessen es zu verbessern, und trotzdem richtig weitergerechnet (siehe $|z|=1/2\cdot x$, das sollte richtig sein).   ─   user8faafd 11.06.2022 um 18:48

Siehe Edit der Antwort.   ─   cauchy 11.06.2022 um 19:02

Kommentar schreiben

1

Ein häufiger Fehler ist, dass man einfach mal losrechnet ohne präzise zu sagen, was x,y,z sind. Das kann man auch mit einer Skizze machen. Aber machen muss man es.
Wenn Du mit $V=x\cdot y\cdot z$ losrechnest, sind $x,y,z$ bei Dir die Seitenlängen des Quaders (das darf der geneigte Leser sich selbst überlegen, weil Du es ja nicht schreibst).

Dann aber erfüllen die Koordinaten der Eckpunkte (Mittelpunkt des Quaders im Nullpunkt angenommen, auch diese Angabe fehlt) nicht auf dem Ellipsoid $x^2+y^2+4z^2=12$.
Das wird mit einer Skizze sofort klar.
Man kann die Variablen auch anders wählen, völlig ok, aber man muss zu Beginn ganz klar sagen, welche Bedeutung sie haben. Andernfalls läuft man Gefahr viel sinnloses zu rechnen.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 25.23K

 

Um ehrlich zu sein, habe ich nicht an die Mehrdeutigkeit von $x,y,z$ gedacht (es sollten die Seitenlängen vom gesamten Quader sein, viele Gedanken habe ich mir darüber nicht gemacht), aber ich verstehe was du meinst, ist natürlich mein Fehler. Ich werde in den zukünftigen Fragen auf jeden Fall jetzt mehr darauf achten. Ich habe (unbewusst), wie oben Cauchy beschrieben hat, die eine Ecke des Quaders im Nullpunkt angenommen und damit braucht es noch den Ergänzungsfaktor um 8 für jeden Oktanten, was ja aufgrund der Achsensymmetrie des Ellipsoiden hier möglich ist, wenn ich es nun richtig verstanden habe.   ─   user8faafd 12.06.2022 um 01:42

Genau. Oder du nutzt die Achsensymmetrie direkt und wählst als Seitenlängen $2x$ etc., damit bekommst du dann sofort $V=8xyz$. Deine Rechnung war also nicht ganz umsonst.   ─   cauchy 12.06.2022 um 01:46

Nach dem Ableiten und gleich-null-setzen fällt der Faktor 8 sowieso raus, d.h. die Rechnung bleibt genauso erhalten und führt auf die gleichen x (egal für welche der beiden Varianten man sich entschieden hat). Der Unterschied liegt "nur" (das ist aber keine Kleinigkeit) in der Bedeutung dieser gefundenen x,y,z für den Quader und damit im zugehörigen Volumen.   ─   mikn 12.06.2022 um 12:05

Kommentar schreiben