Hallo,

ich habe auch länger mit dem Cauchy Produkt rumgespielt, finde da aber auch keinen wirklichen Abschluss. 

Nach weiterem überlegen, ist das was mich am ehesten an diese Aufgabe erinnert die Cauchy Schwarz Ungleichung

$$ \left| \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot b_n \right|^2 \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \vert a_n^2 \vert \cdot \sum\limits_{n =0}^{\infty} \vert b_n^2 \vert $$

Wir haben also zwei absolut konvergente Reihen die durch das Cauchy Produkt auf jeden Fall auch eine absolut konvergente Reihe erzeugen. Diese Reihe ist aber immer größer gleich der Reihe mit den Koeffizienten \( a_n \cdot b_n \). Somit hätten wir auch schon mal die Konvergenz gezeigt (Majorantenkriterium). Durch den Betrag sogar absolute Konvergenz. 

Du musst nur noch etwas mit dem Quadrat machen, aber das überlasse ich mal dir weiter daran rumzurechnen.

Für die b) wirst du kein Beispiel finden, denn wenn du eins finden würdest, hättest du ein Gegegenbeispiel zum Quotientenkriterium.

Grüße Christian