Semidirektes Produkt

Aufrufe: 1046     Aktiv: 04.05.2020 um 16:12

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Guten Morgen!

Kann mir jemand sagen, wozu ZnxZ2 (wobei ich hier mit x das semidirekte Produkt meine) isomorph ist?

 

Liebe Grüße,

Marie :)

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ihr habt bestimmt vorher über endliche symmetriegruppen im R^2 gesprochen und hattet dabei auch ein erzeugendensystem für eine menge von 2x2 matrizen, die isomorph zu D_n ist.

dann ist einer der Erzeuger von D_n die Matrix die auf der diagonalen eine 1 und eine -1 hat, nennen wir die mal A. Dann lässt sich schreiben D_n = < A, B> mit B ist so eine Drehmatrix mit sin cos und irgendwas mit n.

dann kann man jede matrix C aus D_n schreiben als C=(B^k)*(A^i). mit i=0 oder 1

Wenn du jetzt zwei elemente miteinander multiplizierst, hast du ja sowas hier: (B^k)*(A^i)*(B^k')*(A^i').

Um das jetzt wieder wie in der ursprünglichen form zu schreiben musst ja das A^i nach rechts ziehen.

wenn i=0 dann easy (teta(id)(n2)=n2) wenn i=1 ist, musst du aber (B^k') durch dessen inverse ersetzen (evtl nachrechnen), um es so schreiben zu können. deswegen teta(sigma)(n2)=n2^(-1)  (in meiner notation gilt sigma=A)

wird so der isomorphismus vielleicht klarer?

ps: ich hab auch relativ lange gebraucht um das alles zu verstehen, aber bleib dran und les dir die begriffe rund um operationen ganz oft durch um die wirklich zu verinnerlichen. ich finde es lohnt sich

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Und warum ist das so?   ─   marie24 04.05.2020 um 15:32

Also in dem Wikipedia Artikel steht ja, das die Operation die Inversion sei.. kannst du mir das erklären?
bedeutet das, jedes Element wird auf sein Inverses abgebildet und diese Abbildung ist dann der Isomorphismus?

Entschuldige, falls ich ganz falsch liege, aber ich bin gerade etwas verloren in Algebra! :(
  ─   marie24 04.05.2020 um 15:36

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