Verknüpfungen von Funktionen

Erste Frage Aufrufe: 55     Aktiv: 25.11.2021 um 19:17

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Hallo, ich bin derzeitig im Studium und sitze vor folgender Aufgabe: "Sind folgende Aussagen allgemeingültig? Bsp.: Wenn f und g monoton wachsen, dann wächst f ◦ g monoton." Muss ich jetzt für f+g, f-g, f*g und f/g Varianten finden damit die Aussage nicht mehr hin haut oder bin ich da auf dem Holzweg?
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Gegenbeispiel finden ist eine gute Idee geht bei diesem Beispiel auch mit etwas Überlegen sehr schnell.
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Das Missverständnis liegt wohl darin, dass es hier nicht um eine allg. Verknüpfung geht (steht das Wort so in der Aufgabe?), sondern um eine Verkettung, auch Komposition genannt, von Funktionen. g wird in f eingesetzt. Das ist jedenfalls die übliche Def. von $\circ$.
Daher erst(!) in den Unterlagen nachschauen, wie das Symbol definiert ist. Und dann den ganzen Aufgabentext im Original posten, damit wir gezielt helfen können.
Kommst Du damit weiter?
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Lehrer/Professor, Punkte: 19.08K

 

"Seien f, g : R → R Funktionen. Welche der folgenden Aussagen
sind allgemeingültig?
(1) Wenn f und g monoton wachsen, dann wächst f ◦ g monoton."
Das ist der erste Teil der Aufgabe.
  ─   connerg 25.11.2021 um 13:18

Und in Deinen Unterlagen steht was zu $\circ$?   ─   mikn 25.11.2021 um 13:35

okay ich hab mittlerweile herausgefunden, dass man für f ◦ g in dieser Aufgabe auch f(g(x)) schreiben kann.
  ─   connerg 25.11.2021 um 16:32

Ja, genau das meinte ich, wobei $f\circ g$ die Funktion ist, und $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ der FunktionsWERT.   ─   mikn 25.11.2021 um 16:33

Okay gut. Mir scheint es jetzt, dass die erste Aussage allgemeingülig ist. Also mir fällt kein Gegenbeispiel ein, aber ich weiß auch nicht wie ich beweisen kann, dass aus der Verkettung nur monoton steigende Funktionen entstehen können.   ─   connerg 25.11.2021 um 16:53

Ja, das ist richtig. Def. monoton steigend: u heißt monoton steigend, wenn für alle x,y gilt $u(x)\le u(y)$. Schreib Dir die Aufgabe hin in folgender Form:
Voraussetzung, f,g mon. steigend (Def. einsetzen zweimal hinschreiben vollständig!)
Behauptung: $h:=f\circ g$ mon. st., also (Def. einsetzen)
Beweis: Sei x,y in R. Dann gilt: (Nun geht's los, Vorausetzungen benutzen um zum Ziel zu gelangen).
  ─   mikn 25.11.2021 um 17:04

Vielen Dank für die Hilfe
  ─   connerg 25.11.2021 um 19:17

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