Also einfach so gleichsetzen kannst du i und s nicht, bei dir würde ja gelten \(i=s\), aber du hast keine Aussage, über ihr direktes Verhältnis, sondern nur eine Proportionalitätsaussage.

Aber du kannst es dir so vorstellen: 

1) Wenn du i und s in einer Gleichung hast, dann bleibt sie wahr, wenn beide verdoppelt werden.

2) Und sie bleibt wahr, wenn d halbiert und n vervierfacht wird.

3) Und sie bleibt wahr, wenn s vervierfacht und d verdoppelt wird.

Aus 1) folgt ja dann (ich benutze mal beliebige Variablen z.B. f,g,... für alles, was wir noch nicht folgern, das können aber auch jeweils ganze Terme sein):

\( f\cdot i=s\), weil nur so die Gleichung wahr bleibt, wenn ich beide verdopple und sie nicht zwingend gleich sind. Falls dir das nicht klar wird: stell dir i und s in irgendeiner Gleichung vor. Wenn du diese nach s auflöst und s verdoppelst, muss sich die ganze andere Seite verdoppeln, damit die Gleichung wahr bleibt. f ist hier einfach alles andere, was ich noch nicht weiß, auf eine Seite geschoben. 

Wir schreiben 1) jetzt mal als \(f= \frac{s} {i} \), damit wir uns nun dran machen können f genauer zu beschreiben, welches die Variablen d und n noch enthält, aber nicht mehr von i und s abhängig ist.

Betrachten wir nun Bedingung 2):

\( f(d,n)= \frac{s}{i} = f(\frac {1}{2} d, 4n) \).

Auch hier haben wir wieder keine Aussage über das direkte Verhältnis von d und n, sondern nur über deren Proportionalität.

Nach einigen Überlegungen kommst du vielleicht darauf, dass 

\( f= (d^{2} \cdot n)g+h = (((\frac{d}{2})^{2} \cdot 4n)g+h = (\frac{1}{4}d^{2} \cdot 4n)g+h\)

g,h sind hier wieder unbekannte Terme oder Konstanten unabhängig von d und n.

g, h sind allerdings auch unabhängig von s und i, da f unabhängig von s und i ist. Und da du gegeben hast, dass alle anderen Variablen außer unseren konstant sein sollen, kannst du nun davon ausgehen, dass g und h konstant sind.

Wir haben also:

\( (d^{2} \cdot n)g+h= \frac{s}{i}, g,h=const. \)

Kommen wir also zur letzten Bedingung.

3) Die Gleichung muss wahr bleiben, wenn du s vervierfachst und d verdoppelst.

Stell dir hierzu vor, du vervierfachst in unserem bisherigen Ergebnis s. Damit vervierfachst du die rechte Seite und damit die Aussage wahr bleibt muss sich auch links vervierfachen.

Damit entfällt sofort h, weil h konstant addiert wird und diese Relation zerstören würde.

Damit hast du 

\( d^{2} \cdot n \cdot g= \frac{s}{i}, g=const. \).

Umgestellt: \(  d^{2} \cdot i \cdot g= \frac{s}{n}, g=const. \).

Das ist ja schon sehr ähnlich, wie das, was du als Lösung angegeben hast. 

Mir ist nicht klar, warum g entfallen sollte. Ich bin der Meinung, dass meine Lösung (letzte Gleichung) allgemeiner und richtig ist, weil ich alle Bedinungen mit konstantem g überprüfen kann und sie stimmen.

Ich hoffe du konntest mir irgendwie folgen :D wenn nicht frag nochmal nach!