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Das Vorzeichen von $D=f_{xx}f_{yy} -(f_{xy})^2$ ist ja geklärt, $D>0$.
Nun gilt (alles an der entsprechenden Stelle genommen):
Wenn $f_{xx}>0$, dann Tiefpunkt. Wenn $f_{xx}<0$, dann Hochpunkt.
Da aus $D>0$ aber $f_{xx}f_{yy}>0$ folgt, gilt $f_{xx}>0\iff f_{yy}>0$, so dass man das Kriterium auch mit $f_{yy}$ anstelle von $f_{xx}$ lesen kann.
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mikn
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