Nachweis Supremumsnormen auf Vektorräumen

Erste Frage Aufrufe: 61     Aktiv: 28.10.2021 um 20:19

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Hallo,
ich komme leider gerade nicht mehr bei der Aufgabe weiter, vielleicht kann mir ja jemand helfen:

Sei $[a,b]$ ein endliches abgeschlossenes Intervall. Sei $C([a,b],\mathbb{C})$ der Raum der stetigen Funktion $[a,b] \rightarrow \mathbb{C}$. Des weiteren gilt für $C([a,b],\mathbb{C})$ die punktweise Addition $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ und die Skalarmultiplikation $(c \cdot f)(x):=c \cdot (f(x))$ für $c \in \mathbb{C}$.

Nun soll ich zeigen, dass die Supremumsnorm $||f||_{\inf} := \text{sup}_{x \in [a,b]} |f(x)|$ eine Norm auf $C([a,b],\mathbb{C})$ ist.

Ich meine aus der Vorlesung behalten zu haben, dass dafür $C([a,b],\mathbb{C})$ ein Vektorraum sein muss, deswegen habe ich das schon bewiesen- aber wie muss ich fortfahren?

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Student, Punkte: 52

 
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Hallo
Also du hast eingetlich folgende Punkte die du zeigen musst für eine Norm:
  1. $||f||_{sup}\geq 0$ für alle $f\in C([a,b],\mathbb{C})$
  2. $||f||_{sup}=0 \Leftrightarrow f=0$ für $f\in C([a,b],\mathbb{C})$
  3. $||c\cdot f||_{sup}=|c|\cdot ||f||_{sup}$ für alle $c\in \mathbb{R}$ und für alle $f\in C([a,b],\mathbb{C})$
  4. $||f+g||_{sup}\leq ||f||_{sup}+||g||_{sup}$ für alle $f,g\in C([a,b],\mathbb{C})$

Und ja genau du must überprüfen, dass es ein Vektorraum ist, denn die Norm ist eine Funktion $$N:V\rightarrow \mathbb{R},\,\,\text{so dass} \,\,N(v)=||v||$$ Wobei V ein Vektorraum ist.

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Ahh, vielen Dank- ich war gedanklich die ganze Zeit dabei zu Versuchen zu beweisen, dass die Supnorm ein Supremum ist, und nicht einfach ob diese eine Norm des Vektorraums ist, wie es in der Aufgabe steht!   ─   hase12345 28.10.2021 um 20:15

kein Problem!
  ─   karate 28.10.2021 um 20:19

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