Einfach nachrechnen. Die linke Seite ausrechnen, die rechte Seite ausrechnen und dann feststellen, dass beides gleich ist. Die b) ist wahrscheinlich so gemeint, dass man links zuerst `r * vec a` rechnet und erst dann das Ergebnis mit `vec b` multipliziert.

Das lässt sich im Prinzip durch stumpfes Einsetzen und ein bisschen rumrechnen lösen.

Zu a)

\( \vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = b_1a_1+b_2a_2+b_3a_3 = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \vec b \cdot \vec a \)

Zu b)

\( r \cdot \vec a \cdot \vec b = r \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = ra_1b_1+ra_2b_2+ra_3b_3=r(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) = r \cdot \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \right) = r \cdot \left( \vec a \cdot \vec b \right) \)

Zu c)

\( \left( \vec a + \vec b \right) \cdot \vec c = \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \left( a_1+b_1 \right)  c_1 + \left( a_2+b_2 \right) c_2 + \left( a_3+b_3 \right) c_3 = \left( a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3 \right) + \left( b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3 \right) = \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \right) + \left( \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \right) = \left( \vec a \cdot \vec c \right) + \left( \vec b \cdot \vec c \right) \)

Zu d)

\( \vec a \cdot \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1a_1+a_2a_2+a_3a_3 = \left( \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \right)^2 = \left| \vec a \right|^2 \)