Kombinatorik Namen färben

Aufrufe: 265     Aktiv: 26.06.2022 um 17:24
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Ich habe die folgende Aufgabenstellung gegeben und habe auch einen Ansatz, bin mir jedoch nicht sicher ob dieser auch Sinn macht.


Ich habe (7!)/((7-3)!) * (4!/2!) = 2520 aufgeschrieben
der erste Teil (7!)/((7-3)!) für die 3 Farben, welche auf jeden Fall 1x vorkommen sollen und jeweils 3 Plätze des Namens besetzen
der zweite Teil (4!/2!) für die restlichen 4 Farben, welche noch auf 2 Plätzen des 5-stelligen Namens vorkommen sollen.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich hier einen Fehler gemacht habe, oder dass mir hier noch eine Betrachtung fehlt?

Bitte um Hilfe, LG

Edit: Habe jetzt 3!*3^5 + (4 über 2)*4^2 gerechnet = 186
3! für die mögl. Anordnungen der 3 notwendigen Farben
3^3 für die mögl. Anordnungen dieser Farben auf 5 Plätzen
4 über 2 für die Möglichkeiten die restlichen 4 Farben auf 2 Plätzen anzuordnen
4^2 für die mögl. Anordnungen dieser 4 Farben auf 2 Plätzen

kann das sein? bin sehr verwirrt was Kombinatorik angeht^^
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Der erste Ansatz hat richtige Formeln, aber keine Struktur, die zur Aufgabe passt.
Der zweite Ansatz hat falsche Formeln, aber mehr Struktur.

Richtig ist doch, dass Du drei Farben verwenden musst. Für diese drei Farben gibt es fünf mögliche Plätze.

Ich würde zuerst überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, die drei Plätze für die vorgegebenen Farben auszusuchen.
Dann kann man die drei Plätze unterschiedlich mit den drei Farben belegen.
Zuletzt werden die zwei verbleibenden Plätze besetzt.
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Dann hätte ich also:

3! für jede Anordnung der 3 Farben unter sich
(5!)/(5-3)! für die Möglichkeiten 3 Farben auf den verfügbaren 5 Plätzen zu platzieren
(4 über 2) für die Möglichkeiten zwei aus vier Farben auszusuchen, welche dann auf den zwei übrigen Plätzen platziert werden müssen

macht 3! + (5!)/(5-3)! + (4 über 2) = 66 also Sinn?
   ─   xkiba7 24.06.2022 um 18:12
Da geht noch was durcheinander...
3! für die Anordnung ist richtig.
5 über 3 um eine drei-elementige Teilmenge aus eine fünf-elementigen Menge auszusuchen - ohne(!) Beachtung der Reihenfolge. Das, was Du da durch (5!)/(5-3)! beschreibst, ist schon mit Reihenfolge. Du moppelst also doppelt.
Und es ist kein +.

Man kann übrigens auch so argumentieren:
- 5 Möglichkeiten, für Rot einen Buchstaben zu wählen,
- 4 Möglichkeiten bleiben für Blau ,
- 3 Möglichkeiten bleiben für Grün,
- 4 Möglichkeiten, den einen noch noch nicht gewählten, übrigen Buchstaben zu färben,
- 3 Möglichkeiten für den letzten Buchstaben.
Sind $5\cdot 4 \cdot 3\cdot 4\cdot 3= 720$ Möglichkeiten.

Wenn ich mich nicht irre, sollte das bei Deinem Rechenweg auch herauskommen - versuch mal, ob Du Deinen Weg noch richtig hinbekommst.   ─   joergwausw 24.06.2022 um 18:32
dann wäre es 3! * (5 über 3) * (4 über 2) * 2! = 720?
Jeweils die 3! und 2! für die Anordnungen und die Binomialkoeffizienten für die Möglichkeiten ohne Reihenfolge?   ─   xkiba7 26.06.2022 um 14:05
Klingt gut :-)
Noch eine Möglichkeit:
$\frac{5!}{(5-3)!}\cdot \frac{4!}{(4-2)!}$
(das wäre jeweils direkt die Formel für die Möglichkeiten mit(!) Reihenfolge: zuerst für die Buchstaben der gegebenen Farben, dann für die Farben der zwei übrigen Plätze)   ─   joergwausw 26.06.2022 um 17:24

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