Deine Funktion ist
\(f(x)=2x^2-1\)
Damit ist
\(f(x_0)=2x_0^2-1\)
und
\(f(x_0+h)=2(x_0+h)^2-1\)
Jetzt setzt du in den Differenzenquotienten ein:
\(m_s=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\dfrac{2(x_0+h)^2-1-(2x_0^2-1)}{h}\)
Wir lösen hinten die Klammer auf
\(m_s=\dfrac{2(x_0+h)^2-1-2x_0^2+1}{h}\)
Es gilt \(-1+1=0\)
\(m_s=\dfrac{2(x_0+h)^2-2x_0^2}{h}\)
Die linke Klammer lösen wir mit der ersten binomischen Formel. Klammer nicht vergessen.
\(m_s=\dfrac{2(x_0^2+2x_0h+h^2)-2x_0^2}{h}\)
Wir multiplizieren die Klammer aus, indem wir jeden Summanden mit \(2\) multiplizieren:
\(m_s=\dfrac{2x_0^2+4x_0h+2h^2-2x_0^2}{h}\)
Hier fällst wieder was weg, denn
\(2x_0^2-2x_0^2=0\)
Du bekommst
\(m_s=\dfrac{4x_0h+2h^2}{h}\)
Hier kannst du \(h\) ausklammern.
\(m_s=\dfrac{h(4x_0+2h)}{h}\)
Es kürzt sich \(h\)
\(m_s=4x_0+2h\)
Jetzt sind wir bereit für die Grenzwertbildung. Der Differentialquotient gibt dir die Tangentensteigung:
\(m_t=\lim\limits_{h\to 0}m_s=\lim\limits_{h\to 0}(4x_0+2h)=4x_0+2\cdot 0=4x_0\)
Deine Ableitungsfunktion ist also
\(f'(x)=4x\)
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