Steigung und Ableitung!!

Aufrufe: 1026     Aktiv: 22.01.2021 um 12:25

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Hinweis: So gibst du Formeln ein.

Moin Leute,

Ich habe leider ein parr Probleme mit Mathe, da es nicht gerade mein spitzen Fach ist,haha.

Es wäre nett wenn sich jemand bereit erklären würde mir bei diesen Aufgaben 17 - 20 zu helfen.

mfg.

 

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Deine Funktion ist 

\(f(x)=2x^2-1\)

Damit ist

\(f(x_0)=2x_0^2-1\)

und

\(f(x_0+h)=2(x_0+h)^2-1\)

Jetzt setzt du in den Differenzenquotienten ein:

\(m_s=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\dfrac{2(x_0+h)^2-1-(2x_0^2-1)}{h}\)

Wir lösen hinten die Klammer auf

\(m_s=\dfrac{2(x_0+h)^2-1-2x_0^2+1}{h}\)

Es gilt \(-1+1=0\)

\(m_s=\dfrac{2(x_0+h)^2-2x_0^2}{h}\)

Die linke Klammer lösen wir mit der ersten binomischen Formel. Klammer nicht vergessen.

\(m_s=\dfrac{2(x_0^2+2x_0h+h^2)-2x_0^2}{h}\)

Wir multiplizieren die Klammer aus, indem wir jeden Summanden mit \(2\) multiplizieren:

\(m_s=\dfrac{2x_0^2+4x_0h+2h^2-2x_0^2}{h}\)

Hier fällst wieder was weg, denn

\(2x_0^2-2x_0^2=0\)

Du bekommst

\(m_s=\dfrac{4x_0h+2h^2}{h}\)

Hier kannst du \(h\) ausklammern.

\(m_s=\dfrac{h(4x_0+2h)}{h}\)

Es kürzt sich \(h\)

\(m_s=4x_0+2h\)

Jetzt sind wir bereit für die Grenzwertbildung. Der Differentialquotient gibt dir die Tangentensteigung:

\(m_t=\lim\limits_{h\to 0}m_s=\lim\limits_{h\to 0}(4x_0+2h)=4x_0+2\cdot 0=4x_0\)

Deine Ableitungsfunktion ist also

\(f'(x)=4x\)

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Vielen dank!!! @vetox   ─   leon0108 16.12.2020 um 21:43

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Bei 17 habt ihr doch sicher den Differentialquotient mit z.B. der h-Methode behandelt.

Du stellst die Sekantensteigung als Differenzenquotient auf mit

\(m_s=\dfrac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}\)

Dann setzt du in \(f\) ein, verinfachst und formst um sodass sich in der regel das \(h\) im Nenner kürzt, dann bildest du den Grenzwert

\(m_t=\lim\limits_{h\to 0}m_s\)

Bei 18 musst du nur genau das machen was dort steht. Bilde jeweils die Ableitung, gegebenenfalls mit den Ableitungsregeln.

Dann siehst du das jeweils hinten die Konstante wegfällt, sodass sich die selbe Ableitungsfunktion ergibt.

Auch am Graphen siehst du das: Die Steigung ist unabhängig davon, wie die Funktion entlang der \(y\) Achse verschoben ist.

Damit hast du auch deine verallgemeinerung: Beim Ableiten fällt die Konstante hinten immer weg.

Bei 19

Musst du alle Ableitungsregeln anwenden.

Bei 20

Musst du jeweils die Ableitungsfunktion bestimmen und dann mit \(m\) gleichsetzen um dann nach \(x\) auzulösen.

Wenn du konkrete Fragen(Probleme hast kann ich dir auch was vorrechnen.

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Student, Punkte: 2.48K

 

Vielen dank, es wäre super wenn du mir vielleicht Aufgabe 17 a einmal vorrechnen könntest....durchs sehen verstehe ich es meist bisschen besser;) ?   ─   leon0108 16.12.2020 um 19:12

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Jo mach ich Sekunde   ─   vetox 16.12.2020 um 19:30

@vetox
ich habe fast alle Aufgaben lösen können, vielen dank nochmal.
Nur hätte bei Aufgabe 20 noch eine Frage, ist das richtig?
20 a)
f (x) = 0,5x^2 + 2x +1
f '(x) = x+2
x + 2
-5 = x +2 / -2
-7 = x ???
  ─   leon0108 17.12.2020 um 13:13

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Jo das stimmt   ─   vetox 17.12.2020 um 13:14

Danke für die Hilfe!   ─   leon0108 17.12.2020 um 13:16

Moin, kannst du mir vielleicht nochmal helfen....
Wie Löse ich diese Aufgaben:
3x^2 + 5 = 0
(2x+5)^2 = 9
:)
  ─   leon0108 17.12.2020 um 20:01

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Naja beim Ersten kannst du erst Minus 5 rechnen, dann geteilt durch drei und dann die Wurzel ziehen. Du bekommst \(x=\pm\sqrt{\dfrac{-5}{3}}\). Hier siehst du Wurzel aus negativer Zahl -> keine Lösung. Kannst du dir auch graphisch vorstellen. Die Funktion ist eine nach oben geöffnete und nach oben verschobene Parabel. Damit gibt es keine Nullstellen. Beim zweiten musst du den linken Teil auflösen, das ist ne binomische Formel. Dann alles auf eine Seite bringen und dann kannst du die pq-Formel oder abc-Formel anwenden   ─   vetox 17.12.2020 um 21:04

Danke!   ─   leon0108 17.12.2020 um 21:23

Moin, du hattest mir das letzte mal so gut geholfen....danke nochmal!
Kannst du mir erklären wie ich mithilfe der Kettenregel die erste Ableitung berechne ?
K(x) = 1 : Wurzel 2x^2 + 1 ?
  ─   leon0108 22.01.2021 um 12:16

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Schreibe es um zu (2x^2 +1) ^-1/2

dann holst du den Exponenten als Faktor vor und schreibst den Inhalt der Klammer normal hin, reduzierst den Exponenten um 1 und multiplizierst nochmal mit der Ableitung der inneren Funktion -->2* 2x 

es ergibt sich also -1/2 * 2* *2 x * ( 2x^2+ 1) ^-3/2 

also -2x * (2x ^2+1)^-3/2 

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