Moin,
es gibt hier durchaus ein paar Wege, die man einschlagen kann:
1. Deine Idee: Berechne den Richtungsvektor vom Mittelpunkt zu A bzw. B. Berechne den Anstieg und dann den Anstieg der dazu orthogonalen Gerade(n). Dann legst du eine Gerade mit diesem neuen Anstieg durch A bzw. B und berechnest die Nullstellen.
2. Verlängere die beiden Seile so, dass sie mit dem Boden ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Der Querschnitt des Ballons ist nun der Inkreis dieses Dreiecks. Wir wissen, dass für den Inkreisradius $r_i$ folgendes gilt: $$r_i=\frac{c\sqrt{4a^2-c^2}}{4a+2c}$$wobei c die Grundseite und a die andere Seitenlänge ist. Der Inkreisradius und die Höhe des Dreiecks sind bekannt, und da für die Höhe $h$ außerdem gilt $$h=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2}$$haben wir ein Gleichungssystem, was wir nach c auflösen können.
3. Reduziere den Ballon auf eine Dimension und beschreibe die Krümmung des Ballons als Funktion. Dann kannst du die Ableitung am gewünschten Punkt ausrechnen und die Nullstelle der Tangente bestimmen. 
Bei Methode 1 und 3 hilft zum Schluss der Satz des Pythagoras, bei der 2. Methode muss man nur c halbieren, um auf die richtige Länge zu kommen.
LG