Surjektiv oder bijektiv mathematisch korrekt beweisen

Erste Frage Aufrufe: 456     Aktiv: 12.02.2022 um 19:39
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Guten Abend, wir sitzen da gerade zu dritt an diesem Beispiel, da wir uns für eine kommende Klausur vorbereiten aber wir kommen da gerade nicht so richtig weiter, und da hatte ich die Idee, diese Frage hier mal im Forum zu posten, vielleicht ist hier wer schlauer...

Die Aufgabe:

Prüfe, ob folgende Funktionen surjektiv bzw. Injektiv sind:
1) f: ℝ3 → ℝ2,(x,y,z) ↦ (x+x,y+z)
2) f: ℝ2 → ℝ3,(x,y) ↦ (x,x+y,y)


Nun ja vielleicht hilft es, wenn ich kurz mal erläutere was ich unter Surjektiv bzw. Injektiv verstehe, damit man dann besser meine Herangehensweise verfolgen kann:

Also angenommen ich habe zwei Mengen, A und B

Surjektiv ist eine Abbildung f: A→B zwischen A und B, wenn zu jedem y ∈ B ein x ∈ A mit f(x)=y existiert.

Injektiv ist eine Abbildung f: A→B zwischen A und B, wenn zu jedem y ∈ B höchstens ein x ∈ A mit f(x)=y existiert.

Meine Herangehensweise:

Nun ja, ich habe das ganze einmal grafisch Aufgezeichnet für 1) und 2). Bei der Nummer 1 steht dann im Mengendiagramm für in der Definitionsmenge (A) {x,y,z} und für die Zielmenge (B) {x+y,y+z}. Die Pfeile zeigen dann auf alle Elemente, dadurch ist das ganze dann Surjektiv.

Beim zweiten habe ich das ganze gleich gemacht. In der Definitionsmenge (A), steht hier nur {x,y} und in der Zielmenge B {x,x+y,y}. Hier zeigt der Pfeil vom x auf das x und vom y auf das y, aber keiner auf x+y, da ja ℝ2 → ℝ3  oder hat das damit nichts zu tun?

Also 1) ist surjektiv und 2) ist injektiv

Nun ja, aber warum wende ich mich jetzt hier an das Forum? Und zwar habe ich von diesem Übungsblatt eine Korrektur bekommen und in dieser steht "Lösung beispielsweise mit Gleichungssystem oder anderwärtig mathematisch Beweismethode. Eine grafische Lösung war nicht gefordert".

Vielleicht weiß hier wer was da gemeint ist und kann uns das genauer erläutern, jedenfalls vielleicht das mit dem Gleichungssystem? Kann das überhaupt sein? Oder halt anders mathematisch Korrekt, welche Möglichkeiten hätte ich hier gehabt? Ich habe nur diesen Lösungsvorschlag, da dieses Beispiel nur von mir damals in der Runde hier bearbeitet wurde.

Danke schon mal. Vielleicht werden wir heute noch schlauer, wenn nicht, es war einen Versuch wert und es ist ja auch noch ein bisschen Zeit. 
Beste Grüße

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Du bist vermutlich mit den x,y,z durcheinander gekommen. Schreib die Definitionen um mit u und v. also z.B. surjektiv..... zu jedem v in B ein u in A gibt mit f(u)=v.
Nachweis für die erste Funktion:
Sei also $v\in R^2$, also $v=(v_1,v_2)$. Finde nun ein $u=(x,y,z)$ mit $f(u)=v$. Einsetzen und $x,y,z$ bestimmen (die hängen natürlich von $v_1,v_2$ ab).

In den Pfeildiagrammen zeigt kein Pfeil von x nach irgendwohin, weil x nicht im Defbereich ist. Die Objekte, zwischen den man Pfeile hätte, sind Elemente von $R^2$ bzw. $R^3$. Für die erste Funktion würde ein Pfeil von einem Zahlentripel u auf ein Zahlenpaar v zeigen. Aber es gibt keine Pfeile  zwischen den Elementen des Tripels und des Paares.
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Also das mit den Pfeil im zweiten Absatz ist verständlich.
Aber trotzdem noch eine Frage, ginge sowas mit einem Gleichungssystem überhaupt lösen? Oder was war damit gemeint.

Also wenn wir uns die Antwort hier jetzt mal genauer durchlesen, dann hast du mit v(v1,v2) einfach x+y in v1 und y+z in v2 geschrieben ok. Jetzt schreibst du einsetzen und x,y,z bestimmen, wie meinst du das also mit der Abhängigkeit?   ─   anonym2bca4 12.02.2022 um 19:04

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