Zeige Konvergenz von rekursiver Folge

Aufrufe: 343     Aktiv: 05.03.2023 um 16:58

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Der Grenzwert a ist hier gleich die Wurzel von c. Aber wie zeige ich Monotonie und Beschränktheit?
Vielen Dank schon mal!!

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Wir können a priori zeigen, dass $a_n > 1$ ist für alle $n \in \mathbb{N}$. Das geht mit vollständiger Induktion und überlasse ich dir.

Aus der AM-GM Ungleichung folgt direkt (da wir nun $a_n$ positiv haben)

\( \frac{1}{2}(a_n +\frac{c}{a_n}) \geq \sqrt{a_n \frac{c}{a_n}}=\sqrt{c} \).

Jetzt haben wir Beschränktheit gezeigt und zeigen als nächste Monotonie. Auch hier argumenieren wir induktiv. Der Induktionsanfang von $a_{n+1} \leq a_{n}$ ist klar , da $c>1$, und der Induktionschritt ergibt sich mit dem Hinweis, da \( a_{n+2} \leq a_{n+1} \) einfach nur eine Umformulierung von $f(a_{n+1}) \leq f(a_n)$ ist. Beachte, dass wir vorher $a_n \geq \sqrt{c}$ gezeigt haben, also der Hinweis ist anwendbar.

 

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aber müsste die Folge nicht monoton wachsend sein?   ─   usera9eaa1 05.03.2023 um 15:52

Nein? Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt.   ─   crystalmath 05.03.2023 um 16:58

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