Wow, ambitionierte Lösungswege. Ich hab heut Morgen gedacht ich schau mir das doch mal mit Laplace Transformation an. Ich hab’s (noch) nicht so mit DGLs. Aber wir haben "damals" sehr ähnliche Anfangswertprobleme mit Laplace gelöst. Hier also mein Ansatz:

\(y''_{(t)} + 9y_{(t)}=F*sin(2t)\) Jetzt die linke Seite nach dem Differentiationssatz entwickeln und die rechte Seite mit Tabelle Laplace transformieren. Das gibt:

\(s^2Y_{(s)}-sy_{(0)}-y'_{(0)} + 9Y_{(s)} = F*(\frac{2}{s^2+2^2})\) Da y=y'=0 ist wird's einfach. Nun die linke Seite zusammenfassen und ausklammern.

\(Y_{(s)}*(s^2+9) = 2F*(\frac{1}{(s^2+2^2)}))\) Jetzt teilen.

\(Y_{(s)} = 2F(\frac{1}{(s^2+3^2)(s^2+2^2)})\) Nun rücktransformieren.

\(y = \frac{2F}{3^2-2^2}*(\frac{sin(2t)}{2}-\frac{sin(3t)}{3})\) Eigentlich fertig. Jetzt \(t=\frac{3\pi}{2}\) einsetzen.

\(y = \frac{2F}{3^2-2^2}*(\frac{sin(3\pi)}{2}-\frac{sin(\frac{9\pi}{2})}{3})\) Da bekomme ich dann \(y= -\frac{2}{15}F\)

Laplace Tabellen: Bronstein-Semendjajew, Doetsch oder Internet.

Vielleicht könnte einer unserer geschätzten Mathematiker sich das mal durchsehen und eventuelle Fehler korrigieren. So häufig mach ich das nun auch nicht.

Gruß jobe

Löse zuerst die homogene Gleichung (rechte Seite null): y_h = c_1 \sin (3t) +c_2 \cos (3t); dann für die partikuläre Lösung  y_p = A \sin (2t) (das reicht hier, im allgemeinen aber nicht!). Es folgt y_p=f/5 \sin (2t). Nun c_1 und c_2 aus den Anfangsbedingungen berechnen und schließlich t einsetzen,

Wie man solche lin. Differenzialgleichungen löst, kannst Du in meinem Buch an vielen Beispielen lernen.

Hier ausführlich die Schritte zur Lösung der DGL:

Wenn man nun in \( y(t) \) die Anfangswerte einsetzt, bekommt man: \(c_1=0\) und \(c_2=-\frac{2F}{15}\).

Insgesamt also: \( y(t) = -\frac{2F}{15}\sin(3t)+\frac15\sin(2t) \). Daher \( y(\frac{3\pi}{2})=-\frac{2F}{15}\).

Viele Grüße