Warum sind Körper nullteilerfrei?

Aufrufe: 208     Aktiv: 24.06.2022 um 00:07

0
Wie kann man das einfach erklären?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 72

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Es ist \(K^*=K\setminus \{0\}\) mit Multiplikation eine (abelsche) Gruppe, also ist die Multiplikation eine Abbildung von \(K^*\to K^*\)
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 9.19K

 

Versteh ich nicht so ganz was das mit der nullteilerfrei zu tun hat, kannst du’s vllt versuchen mit eigenen Worten zu erklären? Das ich’s besser verstehe?   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 21:44

Ich hätte jetzt gesagt weil alle Elemente eines Körpers außer die 0 Einheiten sind und Einheiten nullteilerfrei sind aber warum Einheiten nullteilerfrei sind kann ich auch nicht erklären   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 21:45

Ja, deine letzte Erklärung geht auch, aber da brauchst du dann eine kleine Widerspruchsbeweis. Mein Satz sagt, dass Multiplikation von Elementen ungleich 0 nach Definition ungleich 0   ─   mathejean 21.06.2022 um 21:53

Meinst du mit K* die Einheiten von K also könnte man auch E(K) für K* schreiben?   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 22:02

Und wie begründet man das dann bei Z also den ganzen Zahlen, weil Z ist ja auch nullteilerfrei aber keine Gruppe   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 22:03

Genau mit \(K^*\) meine ich die Einheiten(-gruppe). Um das ganze für \(\mathbb{Z}\) zu zeigen, genügt es alle möglichen Fälle auf das Produkt zweier positiver Zahlen zurückzuführen   ─   mathejean 22.06.2022 um 09:10

Also kann ich das für Z wie bei den Körpern begründen? Weil die Multiplikation von zahlen ungleich null das Produkt ungleich 0 ergibt?   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 09:16

Aber ist nicht überall das Produkt ungleich 0 bei der Multiplikation von zahlen ungleich 0?   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 09:19

Aber Z mit der Multiplikation ist ja keine Grippe   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 09:24

In einem allgemeinen Ring ist es nicht klar, dass das Produkt Zahlen ungleich 0 wieder ungleich 0 ist (das ist gerade die Nullteilerfreiheit). Obwohl sich die Ringaxiome kaum von den Körperaxiomen unterscheiden, sind Ringe sehr sehr "wild" und kaum zu verstehen, deshalb arbeitet man meistens mit speziellen Ringen.

Nun zur Nullteikerfreiheit von \(\mathbb{Z}\). Für \(a,b\in \mathbb{Z_{>0}}\) ist \(ab>0\), das sollte klar sein. Jetzt gibt es noch die Fälle einer negativ und einer positiv und beide negativ. Diese Fälle kann man aber auf den ersten Fall zurückführen: Minus ausklammern und Kommutativität ausnutzen
  ─   mathejean 22.06.2022 um 09:31

Also a,b∈Z<0 ist (-a)*(-b)=a*b>0
Und wenn a∈Z>0 ^ b∈Z<0 ist a*(-b)=-a*b <0
Und wenn man jetzt für a oder b 0 nimmt ist doch das Produkt 0 aber warum darf man für a oder b nicht 0 nehmen weil 0 doch auch eine ganze Zahl ist?
  ─   anonym3630b 22.06.2022 um 09:38

Sehr gut, damit hast du die Nullteilerfeiheit bewiesen! Das \(0a=0\) für alle \(a \in \mathbb{Z}\) gilt ist ja klar. Wir wollten aber zeigen, dass es keine anderen solche Elementen gibt, das haben wir jetzt hingekriegt!   ─   mathejean 22.06.2022 um 09:44

Ach stimmt super vielen Dank !   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 09:46

Also sagt nullteilerfreiheit dass a*b ungleich 0 ist äquivalent zu a ungleich 0 und b ungleich 0?   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 10:26

So ist es. Ein Gegenbeispiel: $\mathbb{Z}_6$ ist zum Beispiel nicht nullteilerfrei, denn $2 \cdot 3=6=0$.   ─   cauchy 22.06.2022 um 10:36

Wegen modulo 6 oder? Und z5 ist nullteilerfrei weil 1*5=5=0 oder?   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 10:41

Ja, die Begründung ist aber etwas schwieriger, es liegt am Verhalten von Primidealen bei Quotienten   ─   mathejean 22.06.2022 um 11:15

Primideale hab ich noch nicht von gehört   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 11:16

Weißt du was eine Primzahl ist?   ─   mathejean 22.06.2022 um 11:18

Ja Primzahlen kenn ich die sind nur durch eins und sich selbst teilbar   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 11:24

Okay, für eine Primzahl \(p\) ist \((p)=\{ap:a\in \mathbb{Z} \}\) ein Primideal und für alle \(a,b\in \mathbb{Z}\) mit \(ab\in (p)\) gilt \(a\in (p)\) oder \(b \in (p)\). Ist nun allgemeiner \(R\) ein Ring und \(\mathfrak{p}\not =R\) ein Primideal, so ist \(R/\mathfrak{p}\) nullteilerfrei. Ist nämlich \(ab + \mathfrak{p}=0+\mathfrak{p}\), so ist \(ab-0=ab\in \mathfrak{p}\), also \(a+\mathfrak{p}=0\) oder \(b+\mathfrak{p}=0\) in \(R/\mathfrak{p}\)   ─   mathejean 22.06.2022 um 11:31

Das versteh ich jetzt leider nicht so recht   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 11:51

Alternativ kann man auch so mit Teilbarkeit argumentieren, dann braucht man nicht so viel wissen über Ringe, es ist aber etwas mehr Arbeit. In deiner einen Antwort sagtest du ja, du kennst dich mit Quotienten aus? Besuchst du dieses Semester eine Algebra 1?   ─   mathejean 22.06.2022 um 12:24

Ja besuche ich   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 12:28

Okay, dann sollte das aufjedenfall noch bei euch dran kommen, aus welchem Buch hast du die Aufgaben?   ─   mathejean 22.06.2022 um 12:30

Aus keinem Buch sondern von einem Aufgabenzettel von dem Prof   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 12:59

Es reicht auch einfach zu sagen, dass $\mathbb{Z}_p$ mit $p$ prim ein Körper ist und deswegen nullteilerfrei. Wozu also der komplizierte Umweg, wenn die Grundlagen sowieso schon nicht sitzen?   ─   cauchy 22.06.2022 um 15:30

Wieso ist dann aber Z[i] und Z[Wurzel 2] auch nullteilerfrei?   ─   anonym3630b 22.06.2022 um 15:40

Es sind beides Teilringe der komplexen Zahlen   ─   mathejean 22.06.2022 um 16:25

Ok bei Z[i] erkennt man ja wegen dem i das es zu den komplexen Zahlen zählt aber woran erkennt man das bei Z[Wurzel 2] das es ein Teilring der komplexen Zahlen ist?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 16:59

Der Unterschied zwischen $\sqrt {-1}$ und $\sqrt{2}$ ist jetzt nicht so gewaltig, was die Struktur angeht, oder?   ─   cauchy 23.06.2022 um 17:44

Tatsächlich gibt es hier strukturell gar keinen Unterschied, aber das ist noch etwas tiefgründiger. Aber weil du ja Algebra 1 besuchst kommt das bestimmt noch dran   ─   mathejean 23.06.2022 um 18:47

Woran erkenne ich denn dass Z[i] ein teilring der komplexen Zahlen ist?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 18:55

\(\mathbb{Z}[i]\) ist mit Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen ein Ring und ist in \(\mathbb{C}\) enthalten   ─   mathejean 23.06.2022 um 18:58

Und woran erkenn ich schnell das Z[i] ein Ring ist ohne die ganzen axiome nachzuprüfen?
  ─   anonym3630b 23.06.2022 um 19:00

Wie habt ihr den \(\mathbb{Z}[i]\) definiert. Nach einer Definition ist es der kleinste Ring der \(\mathbb{Z}\) und \(i\) enthält. Er ist gerade das Bild des Einsetzungshomomorphismus \(\Phi_i: \mathbb{Z}[X]\to \mathbb{C}, f \mapsto f(i)\)   ─   mathejean 23.06.2022 um 19:06

Wir habe Z[i]:= {a+bi I a,b ∈ Z} c C
Aber wir haben Z[i] und Z[Wurzel 2] als Beispiele für Ringe abgegeben allerdings weiß ich nicht wie ich sowas erkenne ohne die ganzen axiome durch zu beweisen
  ─   anonym3630b 23.06.2022 um 20:07

Ich nehme mal an du siehst Ringe zum ersten Mal, dann ist das ganz normal, dass du so viele Fragen hast. Im Zweifel rechne einfach die Axiome nach und dadurch kriegst du dann auch so ein Gefühl   ─   mathejean 23.06.2022 um 20:25

Ja ich sehe Ringe das erste mal deshalb ist das ganze sehr abstrakt für mich und ich dachte man kann es auch einfacher erkennen ob es sich um einen Ring handelt ohne alle axiome durchzugehen   ─   anonym3630b 24.06.2022 um 00:05

Aber vielen lieben Dank das du mir alle meine Fragen beantwortest! Das ist wirklich total lieb von dir!   ─   anonym3630b 24.06.2022 um 00:07

Kommentar schreiben