Hier die Denkhilfe zu 1:
Die Restschuld nach n Monaten ist \(r_n\)
\(r_0\) ist der Startwert D = 100000(Darlehensbetrag).
Mit der monatlichen Zahlung a =1200 müssen die anfallenden Zinsen bedient werden sowie ein Abtrag geleistet werden.
Der in Monat 1 anfallende Zins ist D*p= 100000 * (0,003) =300 ; der Abtrag =1200 - 300 =900
Restschuld nach dem 1.Monat: \(r_1 =D +D*p -a = D*(1+p) -a = D*q -a = r_0*q-a\) (mit q=1+p und \(D= r_0\))
Restschuld nach dem 2. Monat: \(r_2=r_1 + r_1*p -a = r_1 *(1+p) -a = r_1 *q -a\)
nach dem 3.Monat: \(r_3= r_2 +r_2*p -a = r_2 *(1+p) -a = r_2 *q -a\) jetzt sieht man eine Systematik.
\(r_n= r_{n-1}*q -a\)
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soweit richtig? ─ elawadya 05.12.2020 um 16:07
==> \(D*q^n) = a*{q^n -1 \over q-1}= {a \over p} (q^n -1)\) mit (q-1 = p) ==> \((D-{a \over p})q^n =-{a \over p} ==> q^n= -{a \over p*( d -{a \over p})}={a \over a-p*D}\)
==> \(n= {ln {a \over a-pD} \over lnq}\) mit Werten ist das gar nicht so wild: \( n= {ln {1200 \over 1200- 0,003*100000} \over ln(1,003)}= {ln {1200 \over 900} \over ln (1,003)}={ln{4 \over 3} \over ln(1,003)}=96,037\) Also ist der Kredit nach gut 96 Monaten abgezahlt. ─ scotchwhisky 06.12.2020 um 03:49