Sandwichtheorem Folgen

Aufrufe: 418     Aktiv: 31.03.2022 um 16:34
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Ich soll den Grenzwert der Zahlenfolge an= nte-Wurzel aus 100 finden. Ich hätte jetzt gesagt, eine Zahlenfolge, welche an links einschachtelt, könnte die nte-Wurzel aus 1 sein, welche den Grenzwert 1 hat. Stimmt das?
Und welche Zahlenfolge schachtelt an rechts ein? Also welche Zahlenfolge ist größer und hat denselben Grenzwert?
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Sehr gut, links ist richtig! Habt ihr schon den Grenzwert von \(\sqrt[n]{n}\) gehabt?
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Danke! Ich habe gerade gegoogelt und gelesen, dass der Grenzwert dafür auch immer 1 ist. Aber kann ich damit die Folge rechts einschachteln, weil eigentlich ist das ja erst ab n = 100 größer gleich die nte-Wurzel aus 100?   ─   usera70f42 31.03.2022 um 16:29
Beim Sandwitchtheorem reicht es aus, dass die Abschätzung für fast alle n, also alle bis auf endlich viele, gilt. Hat dazu dein Dozent nichts gesagt?   ─   mathejean 31.03.2022 um 16:34

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Moin,
ich glaube nicht, dass es hier sinnvoll ist, das Sandwichtheorem zu benutzen. Man könnten die Folge mit \(\frac{a-1}{n}\) nach oben abschätzen. Es gilt dann mit \(S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt[n]{a}^k\), dass \(\frac{a-1}{n}\ge \frac{a-1}{S_n}=\frac{S_n}{S_n}(\sqrt[n]{a}-1)=(\sqrt[n]{a}-1)\ge 0\). Wobei ich die geometrische Sumenformel für \(S_n\) verwendet habe. Damit zeigt man es für den allgemeinen Fall. Wenn man L'Hospital schon eingeführt hat, kann man den Grenzwert auch mit \(\sqrt[n]{n}\) nach oben abschätzen.
LG
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