Fehlerfortpflanzung nach Gauß

Aufrufe: 100     Aktiv: 04.07.2022 um 21:33

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Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen und habe einen Ansatz, komme aber leider nicht auf die richtige Lösung:

z=sqrt(x)*ln(x+y) und x = 4 +- 0.1 sowie y=2+-0.2

Die Funktion soll entsprechend gemäß der Fehlerfortpflanzung von Gauß berechnet werden.

Mein Ansatz wäre, dass ich erstmal die Fkt. nach x und y differenziere. Dann gibt es eine Formel, welche lautet:

z = sqrt(f'x * Abweichung x + f'y*Abweichung y) 

Ableitungen nach x und y lauten:
f'x = ln(x+y)/2sqrt(x)  +  sqrt(x)/x+y  und f'y =sqrt(x)/x+y
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1 Antwort
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Was du hast (leserlich, ohne Eigenbeitrag)
\(x = x + \Delta x\)
\(y = y + \Delta y\)
\(f(x,y)=\sqrt{x}ln(x+y)\)
\(\frac{df}{dx}=\frac{ln(x+y)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x+y}\)
\(\frac{df}{dy}=\frac{\sqrt{x}}{x+y}\)
Das stimmt alles.
Warum hast du die Ableitung gebildet?
Weil die Formel die du hast
\(\Delta z = \sqrt{..}\)
Um zu verstehen, warum du einen Fehler hast, hier die Kurzform:
\(\textbf{Du musst die Fehler in der \(\Delta z\) Formel quadratisch addieren.}\)
Die lange Form:
Die Fehlerfortpflanzung ist das Taylorn einer Funktion (dies kann dir evtl. schon bekannt vorkommen) erster Ordnung:
\(f(x+\Delta x, y+\Delta y) = \frac{df}{dx}\Delta x+\frac{df}{dy}\Delta y\)
Jetzt will man aber keine negativen Fehler haben, was macht man also? Die Antwort lautet quadratische Addition (Pythagoras in 2-dimensionen)
\(\Delta f = \sqrt{\frac{df}{dx}^2\Delta x^2+\frac{df}{dy}^2\Delta y^2}\)
Wenn deine Funktion (hier nicht der Fall) nur Polynome enthält, kann man alles vereinfachen
\(\frac{Delta f}{f} = \sqrt{i^2\frac{i\Delta x_i}{x_i}^2}\) wobei die Summe genommen werden muss
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Danke sehr, ich kam nun zum Ergebnis :)
  ─   kunstformen 04.07.2022 um 19:44

Streng genommen handelt es sich hier nicht um eine quadratische Addition, sondern um die Standardabweichung, da das Verfahren in der Regel bei statistisch ermittelten Werten Anwendung findet. Darüber hinaus nutzt man zur Vermeidung "negativer Fehler" bei der linearen Fehlerfortpflanzung über die Taylorreihe ganz einfach den Absolutbetrag.   ─   cauchy 04.07.2022 um 20:57

Nein. Man bezeichnet es als "quadratische Addition" gemäß der Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz. Den Absolutbetrag nimmt man eben nicht, weil der kleiner sein kann als die Wurzel aller Terme quadratisch Addiert. Dies kann dazu führen, dass Fehler unterschätzt werden, was schlicht nie passieren darf.   ─   dragonbaron 04.07.2022 um 21:07

Die Beträge werden ja auch bei der linearen (!) Fehlerfortpflanzung verwendet. Nicht bei Gauß.   ─   cauchy 04.07.2022 um 21:16

Wenn man sauber mit Absolutbeträgen arbeitet, unterschätzt man da gar nichts. Zitat wikipedia: "Diese Gleichung „wurde früher Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt“.[2][3] „Sie betrifft jedoch nicht die Fortpflanzung von Messabweichungen (früher „Fehler“), sondern die von Unsicherheiten.“" Die Frage ist wie so oft, was ist hier gefragt? Eine Aufgabenstellung wird uns ja, wie so oft, verschwiegen.   ─   mikn 04.07.2022 um 21:20

Ich wurde vorhin darauf hingewiesen, dass man sachlich unpassende Antworten löschen soll. Es geht hier um Fehlerfortpflanzung nach Gauß, nicht lineare.   ─   dragonbaron 04.07.2022 um 21:21

1. Liegt die Aufgabenstellung nicht vor. und 2. steht in Deinem (dragonbaron) Kommentar falsche Information, und die darf man ja richtig stellen.   ─   mikn 04.07.2022 um 21:33

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