Grenzwert von {an}n∈N an = (λ* n) /( n! + 1), λ∈ R beweisen

Aufrufe: 506     Aktiv: 30.01.2023 um 19:34
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Aufgabe: "Bewiesen sie, dass {an}n∈N an = (λ* n) /( n! + 1), λ∈ R den Grenzwert 0 hat."

Wie könnte man diese Aufgabe beweisen?

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Hallo, man arbeitet mit Abschätzung und versucht zu z.B. mit Nullfolge zu majoranisieren. Etwa $$|a_n|\leq |\frac{\lambda}{(n-1)!}|\leq \ldots$$ Kommst du weiter?
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Student, Punkte: 10.87K

 
Nein leider nicht :( Wie sieht der ganze Beweis aus?
   ─   user6ab395 29.01.2023 um 13:14
ich habe was ausprobiert:
(λ·n) / (n! + 1) ≤ (λ·n) / n! = (λ·n) / ((n - 1)!·n) = λ / (n - 1)! Ich habe keine Ahnung, wie man weiter macht.
   ─   user6ab395 29.01.2023 um 19:18
Vielleicht ist ja \(n!\geq n\)?   ─   mathejean 29.01.2023 um 20:09
Ich bin echt lost ich weiß es nicht, wie ich weiterkommen kann.

   ─   user6ab395 29.01.2023 um 21:38
Ist es jetzt vollständig?

beweis:

|an -0| = |λ| * |n / (n! + 1)| < |λ| * (n / (n! + 1)) = |λ| / (n! + 1) < |λ| / n < |λ| / (1 / ε) = ε.
Und so wird gezeigt, dass für jedes ε > 0 es ein n in N existiert, dass die Bedingung erfüllt, und somit gilt lim_n→∞ an = 0.
   ─   user6ab395 30.01.2023 um 13:06
okay ich denke dass es so richtig sein soll:

Behauptung: lim_n→∞ an = 0
z.Z: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : |(λ* n) / (n! + 1) -0|< ε ∀n ≥ n0 gilt an_0 < ε

|an_0| = (λ·n_0) / (n_0! + 1) ≤ (λ·n_0) / n! = λ / (n - 1)!
λ/(n_0 -1)! ≤ ε

Sei λ = 0 dann gilt 0_n = 0 ∀n
Sei λ != 0 dann gilt 1/(n_0 -1)! ≤ ε/λ

(n_0-1)! > λ/ε, dann wählen wir n_0 = λ/ε +2
   ─   user6ab395 30.01.2023 um 16:48
Ich weiß aber nicht, wie ich es anwenden kann, diese Aufgabe kommt bei mir morgen in meine Mathe Klausur, ich will einfach die Lösung bekommen, um sie auswendig zu lernen, kannst du mir bitte die Lösung geben?   ─   user6ab395 30.01.2023 um 17:01
Es ist nicht, dass ich den Tipp nicht will, sondern ich weiß es nicht, wie ich es anwenden kann.

   ─   user6ab395 30.01.2023 um 17:55
Ich könnte die Vorübung nicht lösen, wie ich ihnen gesagt habe, ich will nur den richtigen Lösungsweg haben, diese Aufgabe kommt morgen in meine Mathe Klausur und ich will nur die richtige Antwort einfach haben.
Können Sie mir bitte einfach den Lösungsweg geben?   ─   user6ab395 30.01.2023 um 18:59
Es ist egal, ob ich es verstehe oder nicht, ich muss einfach den richtigen Lösungsweg merken und in die Klausur bei dieser Aufgabe schreiben.   ─   user6ab395 30.01.2023 um 19:34

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