Zufallsvariablen

Erste Frage Aufrufe: 803     Aktiv: 18.06.2019 um 12:41

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Ich habe ein paar Probleme bei folgender Aufgabe:

Betrachten Sie folgendes Experiment: Eine Münze wird 5 Mal hintereinander geworfen.
Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der von geworfenen Zahlen, also X
{0,1,2,3,4,5}.
Die Zufallsvariable Y entspricht dem Maximum von „Zahlen“ und „Wappen“. Beispiel:
ω = (Z;Z;W;Z;W) -> X(ω) = 3; Y (ω) = 3
ω= (W;Z;W;W;W) -> X(ω) = 1; Y (ω) = 4.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X), die Varianz Var(X) und die Streuung
σX.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(Y), die Varianz Var(Y) und die Streuung
σY.

 

Ich weis das P = 0.5 und n = 5.

Bei a) komme ich auf E(x) = n*p = 2,5

 

Weiter komme ich nicht. Würde mich über hilfe freuen.

LG

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Hallo,

das Problem ist binomialverteilt. Du kannst also ebenso die allgemeine Formel der Varianz in Bezug auf die Binomialverteilung nutzen. 

\( Var(X) = np(1-p) \)

Die Streuung ist dann die Wurzel der Varianz.

Bei der b) bin ich auch etwas unsicher. Stochastik war leider nie mein Steckenpferd. 

Da wir aber 5 Würfe haben und am Maximum interessiert sind, würde ich die Ereignismenge umändern, in

\( Y \in \{ 3;4;5 \} \)

Das würde ich machen, da wenn du 2x Kopf hast, mindestens 3x Zahl haben musst und somit 3 das Maximum ist. Also kann man mit 0,1 und 2 kein Maximum erzielen. 

Das es auch nicht interessiert ob Kopf oder Zahl maximal ist, sondern nur wie hoch das Maximum ist, müssen wir noch die Wahrscheinlichkeiten anpassen.

Sowohl Kopf als auch Zahl haben die Wahrscheinlichkeit \( \frac 1 2 \). Wenn wir 5x die Münze werfen hat jedes Ergebnis die Warhscheinlichkeit \( \frac 1 {2^5} = \frac 1 {32} \)

Nun überlege dir mal, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass 3 das Maximum ist, wie viele es gibt dass 4 das Maximum ist usw. 

Wenn du dann die Wahrscheinlichkeiten hast, kannst du Erwartungswert und Varianz anhand der Definition berechnen.

Grüße Christian

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