ich verstehe, dass zum beispiel  ${\int }_{\mathrm{-a}}^{\mathrm{a}}$dx x = 0
denn ich lande dann ja bei a^2 - (-a)^2=0

wenn ich jetzt φ ueber einer kugel integriere,  ${\int }_{-0}^{\mathrm{R}}$dr   ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}$dϑ ${\int }_{\mathrm{-\pi }}^{\mathrm{\pi }}$dφ sin(ϑ) r^2 φ = 0
ist auch ersichtlich dass π^2-(-π)^2=0

lasse ich aber φ statt von "-π bis π" jetzt von "0 bis 2π" laufen, beschreibe ich doch die selbe kugel, das integrationsgebiet bleibt also symmetrisch und im raum unveraendert.


aber wie kommt es dass nun das integral nicht verschwindet?  ${\int }_{-0}^{\mathrm{2\pi }}$dφ φ = 4 π^2 =/= 0
handelt es sich nicht mehr um den fall "antisymmetrischer integrant, symmetrisches integrationsgebiet"? oder tat es dies bei dem kugelintegral von anfang an nicht? ist nur eine der beiden wahlen der integrationsgrenzen valide?