Zu (i): Hier muss man einfach nur die Gruppenaxiome überprüfen.

Die Assoziativität gilt für Elemente in \(G\), also insbesondere auch für Elemente der Teilmenge \( U_1 \cap U_2 \).

Das neutrale Element der Gruppe ist in \( U_1 \) und in \( U_2 \), da beides Untergruppen sind, also muss es auch im Schnitt liegen.

Ein beliebiges \( g \in U_1 \cap U_2 \) liegt per Definition in \( U_1 \) und in \( U_2 \). Da beides Untergruppen sind, muss auch das Inverse \( g^{-1} \) in \( U_1 \) und in \( U_2 \) liegen. Also liegt es auch im Schnitt.

Zu (ii): \( U_1 \cup U_2 \) enthält offensichtlich das neutrale Element und es gilt das Assoziativgesetz. Der Knackpunkt muss also bei der Existenz der inversen Elemente liegen.

Die Bedingung \( U_1 \not \subset U_2 \) bedeutet, dass wir ein \( g \in U_1 \) finden, das nicht in \( U_2 \) ist. Entsprechend bedeutet \( U_2 \not \subset U_1 \), dass wir ein \( h \in U_2 \) finden, das nicht in \( U_1 \) ist. Offensichtlich ist \(gh \in U_1 \cup U_2 \). Wenn \( U_1 \cup U_2 \) eine Untergruppe wäre, dann müsste also auch \( (gh)^{-1} \in U_1 \cup U_2 \) sein. Aber kann das sein?