Zu zeigen ist \( \sum_{k=1}^n f_k^2 = f_{n+1} \cdot f_n +1 \) für alle \(n \ge 1\).

\(n=1\): Es gilt \( \sum_{k=1}^1 f_k^2 \) \( = f_1^2 \) \( = 1^2 \) \( = 1 \) \( = 2 \cdot 1 -1 \) \( = f_2 \cdot f_1 - 1 \) \( = f_{1+1} \cdot f_1 - 1\).

\(n \to n+1\): Es gelte \( \sum_{k=1}^n f_k^2 = f_{n+1} \cdot f_n +1 \) für ein \(n \ge 1\). Dann folgt

\( \sum_{k=1}^{n+1} f_k^2= f_{n+1}^2 + \sum_{k=1}^n f_k^2 = f_{n+1}^2 + f_{n+1} \cdot f_n - 1 = (f_{n+1} + f_n) \cdot f_{n+1} -1 = f_{(n+1)+1} \cdot f_{n+1} - 1  \)

Damit ist der Induktionsbeweis erbracht.

Viel zu erklären gibt es da eigentlich nicht. Man rechnet da nur ein bisschen rum. Ansonsten ist das Schema eines Induktionsbeweises ja immer gleich: Man zeigt im ersten Schritt die Behauptung für einen bestimmten Wert (Induktionsanfang) und im zweiten Schritt nimmt man dann an, die Behauptung gelte für einen Wert (Induktionsannahme) und zeigt, dass die Behauptung dann auch für dessen nachfolger gilt (Induktionsschritt).