Grenzwert berechnen

Aufrufe: 73     Aktiv: 02.02.2021 um 14:26

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Ich habe die Aufgabe den folgenden Grenzwert zu berechnen:

\(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\)

Dabei frage ich mich ob dieser überhaupt existiert, weil \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\) doch eigentlich nicht existieren kann. Läuft \(x\longrightarrow 0^+\), dann gilt \(\ln(x)\longrightarrow -\infty\). Für den Sinus würde das ja bedeuten, dass dieser sich "immer schneller" zwischen 1 und -1 bewegt, aber eigentlich nie gegen einen Grenzwert strebt, so ähnlich wie bei \(\sin(\frac{1}{x})\) oder irre ich mich da?

Ich habe zunächst versucht \(z=\dfrac{1}{x}\) zu setzen und komme damit auf:

\(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin\left(\ln(\frac{1}{x})\right)\left((1+\frac{1}{z})^z-1\right)\)

Gilt nun nicht \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \left(1+\dfrac{1}{z}\right)^z-1=e-1\)?

Aber wieder stellt sich die Frage nach der Existenz des Grenzwerts \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin\left(\ln(\frac{1}{x})\right)\). Nur wenn beide existieren, existiert auch mein gesuchter Grenzwert und ich kann den Limes auf das Produkt aufteilen, oder irre ich mich da auch?

Würde mich über Hilfe sehr freuen.
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Student, Punkte: 24

 

Hast Du die Aufgabe richtig abgeschrieben? Wenn die 1 ganz rechts ein e wäre, wäre sie didaktisch viel sinnvoller... Und wie lautet die Aufgabe (mit Text) im O-Ton?
  ─   mikn 02.02.2021 um 12:19

Nein die Aufgabe lautet: "Berechnen Sie den Grenzwert" und ich habe mich beim Grenzwert nicht verschrieben. Deswegen verwirrt mich die Aufgabe auch so. Ich gehe davon aus, dass der Grenzwert existieren soll, selbst wenn dieser \(+\infty\) oder \(-\infty\) ist. Aber anscheinend existiert er nicht? Kann man hier in den Kommentaren denn kein Bild von der Aufgabenstellung hochladen?   ─   anonym 02.02.2021 um 12:54

Schon ok, dann ist das halt so. Der Grenzwert existiert nicht (s. Antwort unten). Vielleicht ist es ein Tippfehler in der Aufgabenstellung, so was kommt vor.   ─   mikn 02.02.2021 um 13:24

Ok, ja hatte mir ja auch gedacht das er nicht existiert. Es hat mich nur wegen der Aufgabenformulierung verwirrt, weil man ja dann davon ausgeht, dass er existiert. Was würde es denn ändern, wenn man \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}} -e\right)\) betrachtet. Greift dann die Polizistenregel wieder, wenn (wie ich unten beschrieben habe) dann der Grenzwert von Links und Rechts der Ungleichung unten gegen 0 geht?   ─   anonym 02.02.2021 um 13:43

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1 Antwort
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Du schreibst: "Nur wenn beide existieren, existiert auch mein gesuchter Grenzwert".  Das stimmt aber nicht. Umgekehrt ist es richtig: Wenn beide Grenzwerte existieren, dann existiert der Grenzwert der Produktfolge (der Implikationspfeil geht also in die andere Richtung). Es könnte also im Prinzip durchaus sein, dass ein Grenzwert existiert, obwohl \(\lim_{x\to0}\sin(\ln x)\) nicht existiert.

Du hast aber richtig beobachtet, dass \(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=\mathrm{e}\) gilt.  Mit dieser Beobachtung ist es leicht, Nullfolgen \(x_n,y_n\) zu konstruieren, so dass \[\lim_{n\to\infty}\sin(\ln x_n)\left((1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}-1\right)=\mathrm{e}-1\] und \[\lim_{n\to\infty}\sin(\ln y_n)\left((1+y_n)^{\frac{1}{y_n}}-1\right)=-\mathrm{e}+1\] gelten. Der Grenzwert existiert also nicht.
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Erstmal vielen vielen Dank für ihre Antwort!

Ok etwas verwirrt bin ich jetzt, vielleicht habe ich mich auch missverständlich ausgedrückt. Ich dachte wenn \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)=a_1\) und \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)=a_2\) existieren, dann existiert auch \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=a\) und ich kann rechnen \(a=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)=a_1\cdot a_2\)? Mit meinem gesuchten Grenzwert meinte ich \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\) bzw. \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin(\ln(\frac{1}{z}))\left((1+\frac{1}{z})^{z}-1\right)\). Wenn also \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\) bzw. \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin(\ln(\frac{1}{z}))\) existieren würden, dann auch mein gesuchter. Ist das richtig?

Zu ihrer Beobachtung mit den Nullfolgen \(x_n,y_n\). Ich bin gestern noch auf etwas ähnliches gekommen. Man kann für alle \(x> 0\) ja abschätzen \(-1\leq \sin(\ln(x))\leq 1\). Also ist ja auch \(-\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\leq \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\leq \left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\). Ich wollte nun über die Polizistenregel argumentieren, aber links läuft der Grenzwert gegen \(-e+1\) und rechts gegen \(e-1\). Ist das das gleiche was sie meinen? Ich hatte das verworfen, weil ich dachte, dass es mir nicht weiter hilft. Ist das vielleicht aber gerade die Argumentation zu sagen, dass mein gesuchter Grenzwert nicht existiert?

Die Aufgabe verwirrt mich wirklich total. Danke für die Hilfe.
  ─   anonym 02.02.2021 um 12:51

PS: wie kann man eine Gleichung mittig schreiben wie sie? Ich benutze hier \ ( ... \ ) für die LaTeX-Syntax.   ─   anonym 02.02.2021 um 12:58

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Es ist richtig, dass "wenn beide Grenzwerte ex, dann auch der des Produkts." Es ist NICHT richtig zu sagen "NUR wenn...." Das ist ein Unterschied. Der Grenzwert des Produkts kann ex ohne dass die Grenzwerte der Faktoren ex.. (Regel z.B.: Nullfolge mal beschränkte Folge gibt Nullfolge). Hilft hier aber alles nichts.   ─   mikn 02.02.2021 um 13:28

Ah verstehe, das "nur" war der ungenaue Wortlaut. Danke hab ich verstanden. Was heißt das denn jetzt für meine Aufgabe? Soll ich sagen, dass der gesuchte Grenzwert nicht existiert. Aber falls \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-e\right)\) gemeint sein sollte, der Limes gegen Null läuft, wegen Polizistenregel usw. ?   ─   anonym 02.02.2021 um 13:47

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Mittige Gleichungen setzt Du mit \ [ \ ]. Du kannst auch andere konstrukte aus amsmath benutzen.   ─   slanack 02.02.2021 um 14:09

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Die Aufgabe wäre auch sinnvoll, wenn da statt \(x\to0\) der Grenzwert für \(x\to\infty\) stünde und der Rest gleich bliebe.   ─   slanack 02.02.2021 um 14:10

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Ja, falls statt \(1\) dort \(\mathrm{e}\) stünde, dann wäre der Grenzwert \(0\).   ─   slanack 02.02.2021 um 14:11

Ok vielen lieben Danke für die Zeit, die sie sich beide genommen haben. Das hat mir sehr weitergeholfen.   ─   anonym 02.02.2021 um 14:26

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