1
Du schreibst: "Nur wenn beide existieren, existiert auch mein gesuchter Grenzwert". Das stimmt aber nicht. Umgekehrt ist es richtig: Wenn beide Grenzwerte existieren, dann existiert der Grenzwert der Produktfolge (der Implikationspfeil geht also in die andere Richtung). Es könnte also im Prinzip durchaus sein, dass ein Grenzwert existiert, obwohl \(\lim_{x\to0}\sin(\ln x)\) nicht existiert.
Du hast aber richtig beobachtet, dass \(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=\mathrm{e}\) gilt. Mit dieser Beobachtung ist es leicht, Nullfolgen \(x_n,y_n\) zu konstruieren, so dass \[\lim_{n\to\infty}\sin(\ln x_n)\left((1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}-1\right)=\mathrm{e}-1\] und \[\lim_{n\to\infty}\sin(\ln y_n)\left((1+y_n)^{\frac{1}{y_n}}-1\right)=-\mathrm{e}+1\] gelten. Der Grenzwert existiert also nicht.
Du hast aber richtig beobachtet, dass \(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=\mathrm{e}\) gilt. Mit dieser Beobachtung ist es leicht, Nullfolgen \(x_n,y_n\) zu konstruieren, so dass \[\lim_{n\to\infty}\sin(\ln x_n)\left((1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}-1\right)=\mathrm{e}-1\] und \[\lim_{n\to\infty}\sin(\ln y_n)\left((1+y_n)^{\frac{1}{y_n}}-1\right)=-\mathrm{e}+1\] gelten. Der Grenzwert existiert also nicht.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
Erstmal vielen vielen Dank für ihre Antwort!
Ok etwas verwirrt bin ich jetzt, vielleicht habe ich mich auch missverständlich ausgedrückt. Ich dachte wenn \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)=a_1\) und \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)=a_2\) existieren, dann existiert auch \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=a\) und ich kann rechnen \(a=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)=a_1\cdot a_2\)? Mit meinem gesuchten Grenzwert meinte ich \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\) bzw. \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin(\ln(\frac{1}{z}))\left((1+\frac{1}{z})^{z}-1\right)\). Wenn also \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\) bzw. \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin(\ln(\frac{1}{z}))\) existieren würden, dann auch mein gesuchter. Ist das richtig?
Zu ihrer Beobachtung mit den Nullfolgen \(x_n,y_n\). Ich bin gestern noch auf etwas ähnliches gekommen. Man kann für alle \(x> 0\) ja abschätzen \(-1\leq \sin(\ln(x))\leq 1\). Also ist ja auch \(-\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\leq \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\leq \left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\). Ich wollte nun über die Polizistenregel argumentieren, aber links läuft der Grenzwert gegen \(-e+1\) und rechts gegen \(e-1\). Ist das das gleiche was sie meinen? Ich hatte das verworfen, weil ich dachte, dass es mir nicht weiter hilft. Ist das vielleicht aber gerade die Argumentation zu sagen, dass mein gesuchter Grenzwert nicht existiert?
Die Aufgabe verwirrt mich wirklich total. Danke für die Hilfe.
─ anonym84cf1 02.02.2021 um 12:51
Ok etwas verwirrt bin ich jetzt, vielleicht habe ich mich auch missverständlich ausgedrückt. Ich dachte wenn \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)=a_1\) und \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)=a_2\) existieren, dann existiert auch \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=a\) und ich kann rechnen \(a=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot g(x)=\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} f(x)\cdot \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} g(x)=a_1\cdot a_2\)? Mit meinem gesuchten Grenzwert meinte ich \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\) bzw. \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin(\ln(\frac{1}{z}))\left((1+\frac{1}{z})^{z}-1\right)\). Wenn also \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\) bzw. \(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sin(\ln(\frac{1}{z}))\) existieren würden, dann auch mein gesuchter. Ist das richtig?
Zu ihrer Beobachtung mit den Nullfolgen \(x_n,y_n\). Ich bin gestern noch auf etwas ähnliches gekommen. Man kann für alle \(x> 0\) ja abschätzen \(-1\leq \sin(\ln(x))\leq 1\). Also ist ja auch \(-\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\leq \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\leq \left((1+x)^{\frac{1}{x}}-1\right)\). Ich wollte nun über die Polizistenregel argumentieren, aber links läuft der Grenzwert gegen \(-e+1\) und rechts gegen \(e-1\). Ist das das gleiche was sie meinen? Ich hatte das verworfen, weil ich dachte, dass es mir nicht weiter hilft. Ist das vielleicht aber gerade die Argumentation zu sagen, dass mein gesuchter Grenzwert nicht existiert?
Die Aufgabe verwirrt mich wirklich total. Danke für die Hilfe.
─ anonym84cf1 02.02.2021 um 12:51
PS: wie kann man eine Gleichung mittig schreiben wie sie? Ich benutze hier \ ( ... \ ) für die LaTeX-Syntax.
─
anonym84cf1
02.02.2021 um 12:58
Ah verstehe, das "nur" war der ungenaue Wortlaut. Danke hab ich verstanden. Was heißt das denn jetzt für meine Aufgabe? Soll ich sagen, dass der gesuchte Grenzwert nicht existiert. Aber falls \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \sin(\ln(x))\left((1+x)^{\frac{1}{x}}-e\right)\) gemeint sein sollte, der Limes gegen Null läuft, wegen Polizistenregel usw. ?
─
anonym84cf1
02.02.2021 um 13:47
Mittige Gleichungen setzt Du mit \ [ \ ]. Du kannst auch andere konstrukte aus amsmath benutzen.
─
slanack
02.02.2021 um 14:09
Die Aufgabe wäre auch sinnvoll, wenn da statt \(x\to0\) der Grenzwert für \(x\to\infty\) stünde und der Rest gleich bliebe.
─
slanack
02.02.2021 um 14:10
Ja, falls statt \(1\) dort \(\mathrm{e}\) stünde, dann wäre der Grenzwert \(0\).
─
slanack
02.02.2021 um 14:11
Ok vielen lieben Danke für die Zeit, die sie sich beide genommen haben. Das hat mir sehr weitergeholfen.
─
anonym84cf1
02.02.2021 um 14:26