Für die a): Du willst eine Funktion haben, die monoton steigt und diffbar ist, also darf die keine Sprünge oder Knicke haben. Sie muss also folgende Bedingungen erfüllen: f(-1) = 0, f'(-1) = 0, f(1) = 1, f'(1) = 0. Eine Funktion 3ten Grades kann dafür ganz gut geeignet sein. Du stellst also jetzt einfach ein lineares Gleichungssystem auf und löst das, du hast 4 Bedingungen, also 4 Gleichungen und 4 Unbekannte, somit kannst du das LGS lösen und erhälst eine mögliche Funktionsgleichung.

Bei der b): Dir sollte erstmal bewusst sein, dass b-a sowie f(b) - f(a) niemals 0 werden kann solange a ungleich b ist. Im Prinzip setzt du jetzt einfach ein und rechnest aus:

\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}{b-a} = \frac{1}{-ab}\)

(rechne das mal selbst nach). Das soll jetzt gleich der Ableitung an der Stelle c sein, also leite erstmal f ab, dann bekommst du:

\( f'(c) = -\frac{1}{c²} = \frac{1}{-ab} \iff c = \sqrt{ab}\)