Lineare Abbildungen von |K

Aufrufe: 46     Aktiv: 15.03.2021 um 15:37

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Hallo liebe Community,
ich bräuche Hilfe bei der obenstehenden Frage. Hierbei verstehe ich nämlich nicht ganz was mit "geschickt beschreiben" gemeint ist. Für i.) wäre mir jetzt nur eingefallen, dass es sich hierbei wohl um einen Endomorphismus handelt. Allerdings weiß ich nicht ob das die gewünschte Beschreibung ist und auch nicht wie ich die übrigen ii.) und iii.) beschreiben soll. Ich hoffe mir kann hier jemand helfen.

LG
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Hi,
eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K \to \mathbb K\) ist immer von der Form \( f(x) =a\cdot x\) für ein \(a\in \mathbb K\). Dieses \(a\) kann man auch als \( 1\times 1\) Matrix sehen.
Eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K \to \mathbb K^m\) wird dann beschrieben durch einen Spaltenvektor, also eine \( m\times 1\) Matrix.
Eine \( \mathbb K\)-linear Abbildung \(f\colon \mathbb K^n \to \mathbb K\) wird beschrieben durch einen Zeilenvektor, also eine \( 1\times n\) Matrix.
Die Abbildung ist dann jeweils gegeben durch Matrixmultiplikation.
(Technische Anmerkung: Man müsste hier in der Aufgabenstellung eigentlich explizit erwähnen, dass es sich um \( \mathbb K\)-linear Abbildung handelt.)
Ich hoffe das klärt deine Frage.
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Vielen Dank! Das hilft mir auf jeden Fall weiter. Nur nochmal zum Verständnis: Das n in meiner Abbildung von K^n nach K steht dann für die Anzahl der Zeilen meiner Matrix und das m in K nach K^m für die Anzahl der Spalten?
Und bei K -> K: Was genau bedeutet dann das x in f(x) = a*x?

Bin noch ein wenig eingerostet was lineare Algebra angeht da es schon etwas länger her ist. Ich hoffe du kannst mir wieder weiterhelfen.
  ─   peterneumann 15.03.2021 um 14:28

Die Abbildung \(f_1\colon \mathbb K^n \to \mathbb K\) wird durch einen Zeilenvektor mit \( n\) Einträgen dargestellt. Ein Zeilenvektor hat genau eine Zeile und in diesem Fall \(n\) Spalten, ist also von der Form
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} .\]
Die Abbildung ist nun durch Matrizenmultiplikation gegeben, es ist also
\[ f_1( \vec v) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} \cdot \vec v \]
In deinem Kommentar hast du Spalten und Zeilen verwechselt, da kommt man aber auch echt immer durcheinander.
Analog wird \(f_2\colon \mathbb K \to \mathbb K^m\) dargestellt durch eine Matrix der Form
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \vdots \\ m \end{pmatrix} \]
und die Abbildung ist gegeben durch
\[ f_2(\vec v) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \vdots \\ m \end{pmatrix} \cdot \vec v . \]
Eine Abbildung \( f_3\colon \mathbb K \to \mathbb K\) wird durch eine Matrix mit nur einem Eintrag dargestellt
\[\begin{pmatrix} a\end{pmatrix}. \]
Die Matrizenmultiplikation ist nun genau das Produkt in \(\mathbb K\) und somit ist die Abbildung \(f_3\) gegeben durch \( f_3(x) =\left( a \right) \cdot \left( x\right) =a\cdot x\).
  ─   anonym42 15.03.2021 um 15:37

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