Höhe eines Dodekaeders

Erste Frage Aufrufe: 197     Aktiv: 03.12.2023 um 10:50

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Hallo,

die Mathe Aufgabe ist folgende: "Welchen Abstand haben zwei

parallele Flächen des Dodekaeders voneinander, wenn die Seitenlänge 5cm beträgt?

Die Antwort muss durch eine passende Berechnung begründet werden!"

Ich habe bei dem Dodekaeder, alles ausgerechnet was man mit Formeln ausrechnen kann (Oberfläche 516,14, Volumen 957,89, Raumdiagonale 14,01, Umkugelradius 7,01, Kantenkugelradius 6,55 und Inkugelradius 5,57), zusätzlich habe ich auch den Isokaeder berechnet (Kantenlaenge 10,89, Oberfläche 1044,08, Rauminhalt 2888,03, Umkugelradius 10,44, Kantenkugelradius 8,88 und Inkugelradius 8,3), wie aber kann ich deine Gesamthöhe berechnen ?
Mein Lehrer meinte der Isokaeder ist dabei hilfreich.

LG

gefragt

Punkte: 10

 

Hier schonmal eine Formel, allerdings ohne Begründung: https://www.redcrab-software.com/de/Rechner/Dodekaeder .   ─   m.simon.539 02.12.2023 um 00:25

Den Rechner habe ich auch schon benutzt, um zu überprüfen was ich gerechnet hatte, das ist alles auch richtig.

Er meinte irgendwie, dass man durch den ikosaeder die beiden Punkte (unten und oben) berechnen kann und dann die Gesamthöhe rauskriegt und man dafür vom Dodekaeder den Kantenradius brauch..

Ich bin in Mathe halt gar nicht so gut und den Weg den du geschrieben hast kenne ich nicht, wir haben noch nie mit dem goldenen Schnitt gearbeitet.

Also theoretisch muss ich nur den innenradius, den ich beim Dodekaeder berechnet habe verdoppeln und habe das Ergebnis ?

Den innenradius (Ri) habe ich mit ca. 5,57 berechnet.
  ─   yiyeonii 02.12.2023 um 20:18

Ja, Höhe = Innenradius mal 2.

Wie der Kantendurchmesser des Dodekaeders helfen soll, die Höhe des eingeschlossenen Ikosaeders auszurechnen, ist mir schleierhaft. Dein Lehrer redet echt in Rätseln.
  ─   m.simon.539 02.12.2023 um 21:17

Hier habe ich einen Beweis für den Innenkugelradius gefunden:
Satz 8 von https://www.walter-fendt.de/math/geo/dodekaeder.pdf
Wie man sieht, ist die Berechnung kompliziert (wenn auch nicht so kompliziert wie mein Lösungsvorschlag), und der Ikosaeder wird nicht verwendet.
Der "goldene Schnitt" ist einfach nur eine Zahl, wie gesagt \(\frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1,\!61\).
Jeder, der mit Wurzeln rechnen kann und die Burchrechnung beherrscht, dann auch mit dem goldenen Schnitt rechnen.
  ─   m.simon.539 03.12.2023 um 10:50
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Wie einem der Ikosaeder bei dieser Aufgabe helfen kann, ist mir schleierhaft. Zwar kann man einen Ikosaeder in einen Dodekaeder hineinsetzen, und der Außenkugelradius des Ikosaeders ist dann der Innenradius des Dodekaeders. Um etwas davon zu haben, muss man aber die Kantenlänge des Ikosaeders berechnen - nicht trivial.

Bei dieser Aufgabe kommt es darauf an, welche Formeln man über den Dodekaeder voraussetzen darf.

Im günstigsten Fall darfst du die Formel für den Innenkugelradius verwenden - das Doppelte davon ist die Höhe.

Im schlimmsten Fall musst Du diesen Dokekaeder komplett durchrechnen. Das geht so:
Die Seite Dodekaeder listet auf, wie die Koordinaten der 20 Eckpunkte eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a=\frac{2}{\phi}\) aussehen. Dabei ist \(\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) der goldene Schnitt.
Aus diesen 20 Eckpunkte muss man sich irgendein 5-Eck heraussuchen, also 5 Punkte \(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\), die eine begrenzende Fläche bilden.
Möglich wären hier: \(p_1 = \left(1,1,1\right),\;p_2 =\left(\phi,\frac{1}{\phi},0\right),\; p_3 = \left(1,1,-1\right),\; p_4=\left(0,\phi,-\frac{1}{\phi}\right), p_5=\left(0,\phi,\frac{1}{\phi}\right) \).
Dass dies ein 5-Eck ist, sieht man daran, dass \(|p_1-p_2| = |p_2-p_3| = |p_3-p_4| = |p_4-p_5| = |p_5-p_1| = a\), wobei |.| die euklidische Länge bezeichnet.
Um das nachzurechnen, sind folgende Gleichungen hilfreich: \(\phi^2=1+\phi,\;\;\phi^{-1}=\phi-1,\;\;\phi^{-2}=2-\phi\).
Der Innenradius \(r_i\) wäre dann der Abstand von dem Mittelpunkt dieses 5-Ecks zum Koordinatenursprung, also \(\displaystyle r_i = \left| \frac{p_1+p_2+p_3+p_4+p_5}{5} \right|\)
Die Höhe dieses Dodekaeders ist dann \(h=2 r_i\).
Die Höhe eines Dodekaeders ist proportional zur Kantenlänge. Bei 5 cm Kantenlänge sind das \(\displaystyle \frac{5 \mbox{cm}}{a} h\).
Ich hoffe, Du musst nicht begründen, warum die 20 Eckpunkte tatsächlich einen Dodekaeder bilden. Das würde dann in Arbeit ausarten.
Dann müsstest Du für alle 12 Fünfecke die Eckpunkte zusammenstellen und nachweisen, dass diese Eckpunkte ein regelmäßiges 5-Eck mit Kantenlänge a bilden, also
  • Fünfeck planar
  • Abstand Mittelpunkt 5-Eck zu jedem seine 5 Ecken immer gleich
  • Abstand von einer Ecke zur nächsten immer a.
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