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Wie einem der Ikosaeder bei dieser Aufgabe helfen kann, ist mir schleierhaft. Zwar kann man einen Ikosaeder in einen Dodekaeder hineinsetzen, und der Außenkugelradius des Ikosaeders ist dann der Innenradius des Dodekaeders. Um etwas davon zu haben, muss man aber die Kantenlänge des Ikosaeders berechnen - nicht trivial.
Bei dieser Aufgabe kommt es darauf an, welche Formeln man über den Dodekaeder voraussetzen darf.
Im günstigsten Fall darfst du die Formel für den Innenkugelradius verwenden - das Doppelte davon ist die Höhe.
Im schlimmsten Fall musst Du diesen Dokekaeder komplett durchrechnen. Das geht so:
Die Seite Dodekaeder listet auf, wie die Koordinaten der 20 Eckpunkte eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a=\frac{2}{\phi}\) aussehen. Dabei ist \(\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) der goldene Schnitt.
Aus diesen 20 Eckpunkte muss man sich irgendein 5-Eck heraussuchen, also 5 Punkte \(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\), die eine begrenzende Fläche bilden.
Möglich wären hier: \(p_1 = \left(1,1,1\right),\;p_2 =\left(\phi,\frac{1}{\phi},0\right),\; p_3 = \left(1,1,-1\right),\; p_4=\left(0,\phi,-\frac{1}{\phi}\right), p_5=\left(0,\phi,\frac{1}{\phi}\right) \).
Dass dies ein 5-Eck ist, sieht man daran, dass \(|p_1-p_2| = |p_2-p_3| = |p_3-p_4| = |p_4-p_5| = |p_5-p_1| = a\), wobei |.| die euklidische Länge bezeichnet.
Um das nachzurechnen, sind folgende Gleichungen hilfreich: \(\phi^2=1+\phi,\;\;\phi^{-1}=\phi-1,\;\;\phi^{-2}=2-\phi\).
Der Innenradius \(r_i\) wäre dann der Abstand von dem Mittelpunkt dieses 5-Ecks zum Koordinatenursprung, also \(\displaystyle r_i = \left| \frac{p_1+p_2+p_3+p_4+p_5}{5} \right|\)
Die Höhe dieses Dodekaeders ist dann \(h=2 r_i\).
Die Höhe eines Dodekaeders ist proportional zur Kantenlänge. Bei 5 cm Kantenlänge sind das \(\displaystyle \frac{5 \mbox{cm}}{a} h\).
Ich hoffe, Du musst nicht begründen, warum die 20 Eckpunkte tatsächlich einen Dodekaeder bilden. Das würde dann in Arbeit ausarten.
Dann müsstest Du für alle 12 Fünfecke die Eckpunkte zusammenstellen und nachweisen, dass diese Eckpunkte ein regelmäßiges 5-Eck mit Kantenlänge a bilden, also
Bei dieser Aufgabe kommt es darauf an, welche Formeln man über den Dodekaeder voraussetzen darf.
Im günstigsten Fall darfst du die Formel für den Innenkugelradius verwenden - das Doppelte davon ist die Höhe.
Im schlimmsten Fall musst Du diesen Dokekaeder komplett durchrechnen. Das geht so:
Die Seite Dodekaeder listet auf, wie die Koordinaten der 20 Eckpunkte eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a=\frac{2}{\phi}\) aussehen. Dabei ist \(\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) der goldene Schnitt.
Aus diesen 20 Eckpunkte muss man sich irgendein 5-Eck heraussuchen, also 5 Punkte \(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\), die eine begrenzende Fläche bilden.
Möglich wären hier: \(p_1 = \left(1,1,1\right),\;p_2 =\left(\phi,\frac{1}{\phi},0\right),\; p_3 = \left(1,1,-1\right),\; p_4=\left(0,\phi,-\frac{1}{\phi}\right), p_5=\left(0,\phi,\frac{1}{\phi}\right) \).
Dass dies ein 5-Eck ist, sieht man daran, dass \(|p_1-p_2| = |p_2-p_3| = |p_3-p_4| = |p_4-p_5| = |p_5-p_1| = a\), wobei |.| die euklidische Länge bezeichnet.
Um das nachzurechnen, sind folgende Gleichungen hilfreich: \(\phi^2=1+\phi,\;\;\phi^{-1}=\phi-1,\;\;\phi^{-2}=2-\phi\).
Der Innenradius \(r_i\) wäre dann der Abstand von dem Mittelpunkt dieses 5-Ecks zum Koordinatenursprung, also \(\displaystyle r_i = \left| \frac{p_1+p_2+p_3+p_4+p_5}{5} \right|\)
Die Höhe dieses Dodekaeders ist dann \(h=2 r_i\).
Die Höhe eines Dodekaeders ist proportional zur Kantenlänge. Bei 5 cm Kantenlänge sind das \(\displaystyle \frac{5 \mbox{cm}}{a} h\).
Ich hoffe, Du musst nicht begründen, warum die 20 Eckpunkte tatsächlich einen Dodekaeder bilden. Das würde dann in Arbeit ausarten.
Dann müsstest Du für alle 12 Fünfecke die Eckpunkte zusammenstellen und nachweisen, dass diese Eckpunkte ein regelmäßiges 5-Eck mit Kantenlänge a bilden, also
- Fünfeck planar
- Abstand Mittelpunkt 5-Eck zu jedem seine 5 Ecken immer gleich
- Abstand von einer Ecke zur nächsten immer a.
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m.simon.539
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