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Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe gegeben

Sei \(U,V \subset \mathbb{R}^2\) offene Mengen, \(f:U\rightarrow V\) ein Diffeomorphismus und \(g:V\rightarrow U\) seine inverse Funktion. Zeige dass wenn \(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}=\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\) und \(\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=-\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\) dann \(\frac{\partial g_1}{\partial x_1}=\frac{\partial g_2}{\partial x_2}\) und \(\frac{\partial g_1}{\partial x_2}=-\frac{\partial g_2}{\partial x_1}\).


Ich habe das wie folgt versucht zu beweisen, weiss aber nicht ob man die Gleichungsketten am Schluss wirklich so notieren darf oder ob es noch einen weiteren Schritt benötigt. Könnte sich das jemand kurz anschauen?

Vielen Dank

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1 Antwort
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Hallo,

der Weg ist so schon mal richtig. Ich würde aber für \( \frac {\partial g_1} {\partial x_1} = \frac {\partial g_2} {\partial x_2} \) einfach "durch Koeffizientenvergleich" schreiben, weil du hast die Inverse ja schon so umgeformt, das an der Stelle \( (1,1)\) und an der Stelle \((2,2)\) das selbe steht. 

Beim zweiten sehe ich es entweder nicht ganz richtig, oder du hast vergessen das Minus zu berücksichtigen. Auch hier würde ich es eher so schreiben, wie du es ja auch schon in die Inverse geschrieben hast

$$ \frac {\partial g_1} {\partial x_2} = \frac 1 {\ldots} \left(- \frac {\partial f_1} {\partial x_2} \right) = - \left(  \frac 1 {\ldots}  \frac {\partial f_1} {\partial x_2} \right) = - \frac {\partial g_2} {\partial x_1} $$

Aber der Weg ist absolut richtig :)

Grüße Christian
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Hallo Christian
Ja beim zweiten habe ich das Minus ganz am Anfang hingeschrieben und dann nicht weitergezogen, kann leicht untergehen. Daher vielen Dank für die Hilfe.
  ─   karate 19.04.2021 um 13:54

Umso besser :)
Sehr gerne.
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 13:55

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