Gerade mit Abstand, Schnittpunkt berechnen

Aufrufe: 350     Aktiv: 04.10.2022 um 20:26

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Moin, ich bräuchte Hilfe bei meinen zwei Aufgaben.
Wie Sie sehen, habe ich auch schon ein Teil der Aufgaben gelöst, jedoch
weiß ich nicht mehr weiter, da mir auch die Formulierung bei der unteren Aufgabe ein bisschen
schwer fällt. Ich habe mir auch ein paar Videos angeguckt, jedoch nicht weiter gekommen. 
Es würde mich freuen wenn jemand mir helfen würde, so das ich die Aufgabe auch verstehe.

Vielen Dank und erholsamen Feiertag noch.


gefragt

Student, Punkte: 19

 
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Wie Du merkst, helfen Dir videos nicht. Fang doch einfach mal an. An den vorigen Aufgaben sieht man, dass Du die Begriffe und Formeln kennst, mehr brauchst Du nicht.
Also zu c): Setze an: Abstand von $\vec r(t)$ zu $(5,9) = 15$. Was erhälst Du? Was ist darin unbekannt? Kannst Du die Unbekannte bestimmen?
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.35K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Zu c.)

Du weißt, dass die beiden Punkte einen Abstand von 15 zu dem Punkt \( A(5|9) \) haben. Außerdem sollen die beiden Punkte auf der Geraden aus der Aufgabenstellung liegen. Nun rechnen wir \(d(A,r)=\vert\begin{pmatrix} 5-4t-5 \\ 9-3t-9 \end{pmatrix}\vert\) um den Abstand des Punktes zur Geraden zu kalkulieren. Aufällig ist hierbei ganz klar, dass t noch nicht gleöst wurde, dies also unsere Lösung repräsentiert.

\(\vert\begin{pmatrix} 5-4t-5 \\ 9-3t-9 \end{pmatrix}\vert = \vert\begin{pmatrix} -4t \\ -3t \end{pmatrix}\vert = \sqrt{(-4t)^2+(-3t)^2} = ... = \vert5t\vert\)

Wegen \(d(A,r) = 15\) gilt:

\( \vert5t\vert = 15 \rightarrow t=\pm3 \) Nach Einsetzen von t in \( \vec{r}(t) \) erhalten wir 1. \(\begin{pmatrix} 17 \\ 18 \end{pmatrix}\) und 2. \(\begin{pmatrix} -7 \\ 0 \end{pmatrix}\)!
Überprüfen wir die Distanz (und somit das Ergebnis) - im Beispiel für Lösung 1: \( d:= \sqrt{(17-5)^2+(18-9)^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\)
Der Punkt \(A\) und unsere erste Lösung haben einen Abstand 15. Weiter muss überprüft werden ob der Punkt auf der Gerade liegt. Wenn \(A\) in \( \vec{r}(t) \) eingesetzt wird, stellen wir fest das dies korrekt ist. Somit haben wir bewiesen, dass die erste Lösung auf der Gerade liegt und einen Abstand von 15 zu Punkt \(A\) hat.

Hinweis: Die Überprüfung wurde laut Aufgabenstellung nicht gefordert. Die Kalkulation der beiden Punkte ist genügend. 
Des Weiteren, wollte ich graphisch kurz "erklären", dass \(A\) auf \( \vec{r}(t) \) liegt und die beiden Lösungen sozusagen 15 Längeneinheiten in die jeweilige Richtung der Gerade "gehen". Vielleicht ist der Gedankengang anschaulicher ;)


Zu d.) 

Hier müssen  \( \vec{r}(t) \) und  \( \vec{x}(s) \) gleich gesetzt werden und das daraus entspringende Gleichungssystem gelöst werden:

\( \begin{aligned} 5-4t = 1+2s \\ 9-3t = -1+4s \end{aligned} \)

Ich will dir nicht deine ganze Hausaufgabe abnehmen - von daher probiere dich doch mal daran aus das besagte LGS zu lösen. Ihr habt dies sicherlich bereits gelernt! Falls noch Fragen bestehen - kannst du gerne noch einmal darunter kommentieren. 

Tipp: Löse das Gleichungssystem, dann bekommst du \(r\) und \(s\). Danach kannst du mit den beiden Punkten (bzw. einen davon) schauen in "welche Richtung" der Schnittpunkt weg ist - also einfach einsetzen.
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Punkte: 10

 

Ich werde ja gerne korrigiert, aber inwiefern ist \(\sqrt{25t^2} \rightarrow t = \pm 5\) falsch?   ─   jmarnold 03.10.2022 um 17:59

Pardon me - aber wird diesbezüglich so genau differenziert? Die meisten Profs lassen beide Versionen analog durchgehen. Übrigens auch recht amüsant wenn man in der Literatur die gleichkommende Austauschbarkeit der beiden Schreibweisen betrachtet.. ;)
  ─   jmarnold 03.10.2022 um 18:05

Gut, ich beuge mich den ad absurdum (und definitiv nicht einheitlichen) aufgestellten Regeln! :)
Aus persönlicher Erfahrung kann ich nur sagen, dass dies in einigen Papers, bzw. in Vorlesungen häufig ununterscheidbar verwendet wird. Mir ist klar, dass dies nicht die feine mathematische Notation ist bzgl. der Eindeutigkeit der Wurzel. Aber danke für die konstruktive Kritik und einen angenehmen Abend, mikn!
  ─   jmarnold 03.10.2022 um 18:26

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Schade, dass es keine Rückmeldung gibt. Hätte mich auch interessiert. Kenne das nämlich auch nicht so und nur die eindeutige Definition. Profs., die das so schlampig definieren, sind in der Regel keine Mathematiker, sondern fachfremd und bieten dann so Vorlesungen wie Mathematik für Informatiker oder Biologen an. Die nehmen es nie so genau.   ─   cadu 04.10.2022 um 04:49

So kleine Rückmeldung bzgl. gestern. Stimmt! Nach genauerer Recherche habe ich keine offiziellen Quellen gefunden. Habe es jedoch häufiger in Vorlesungen gesehen - Physik und Informatik.
Aber dennoch nicht relevant zum Sachverhalt. Vielen Dank Herr Knorrenschild! Jetzt habe ich ja die offizielle - und einzig richtige - Notation inne ;)
  ─   jmarnold 04.10.2022 um 15:32

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