Zeige, dass das die Funktion nicht Riemann-integrierbar ist.

Erste Frage Aufrufe: 173     Aktiv: 26.06.2022 um 22:43

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Zeige, dass die Funktion $f: \left[0, 1\right] \times \left[0, 1\right]\rightarrow \mathbb{R} $,
$$f(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{ y rational } \\ 2x & \, \text{y irrational} \end{cases}$$ nicht Riemann-integrierbar ist. 
Ich komme leider mit der Aufgabe nicht so gut klar. Meine Idee wäre zu zeigen, dass das Oberintegral ungleich dem Unterintegral ist.Leider weiß ich aber nicht genau, wie ich das anstellen soll. Ist dieser Ansatz denn überhaupt richtig oder bin ich auf dem Holzweg und muss es anders zeigen? In meiner Vorlesung ist die Definition für Riemann-integrierbar, dass das Oberintegral gleich dem Unterintegral ist.
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Probiere den Ansatz doch einfach mal aus. Dann kannst du immer noch schauen, ob du damit weiter kommst oder nicht. Die Mathematik lebt davon, Dinge auszuprobieren und einfach mal zu machen.   ─   cauchy 25.06.2022 um 19:11

Das Problem ist leider, dass ich mit meiner ersten Idee nicht weiter komme, da ich nicht genau weiß, wie ich das Ober- bzw. Unterintegral berechnen soll.   ─   mathe2022 26.06.2022 um 11:09

Nach meiner Kenntnis heißt das Ober- bzw. Untersumme. Und berechnen kommt (wenn überhaupt) nach dem Hinschreiben. Schreib also die Def. von Obersumme allgemein hin, setze ein, was bekannt ist. Dann sehen wir weiter.   ─   mikn 26.06.2022 um 12:13

Wenn ich das in die Definition der VL einsetze dann würde ich für die Obersumme bzw. bei uns in der VL tatsächlich Oberintegral auf folgendes kommen: $\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1} f(x,y) dxdy = \inf \left\{\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1} φ(x,y)dxdy |φ: \left[0, 1\right]\times \left[0, 1\right] \rightarrow \mathbb{R} \text{ Treppenfunktion mit } φ\geq f\right\} $ und dazu analog für die Untersumme/Unterintegral $\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1} f(x,y) dxdy = \sup \left\{\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1} ψ(x,y)dxdy |ψ \left[0, 1\right]\times \left[0, 1\right] \rightarrow \mathbb{R} \text{ Treppenfunktion mit } ψ\leq f\right\} $   ─   mathe2022 26.06.2022 um 12:38

Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil ja links das Riemann-Integral steht, von dem man zeigen soll, dass es nicht existiert. Also schreib das raus, auf das es hier ankommt - ohne das Drumherum - Mathematik heißt ja, die Dinge einfach zu machen.
Ich finde auch unter dem Begriff "Oberintegral" das Infimum von Obersummen (nicht Integralen).
  ─   mikn 26.06.2022 um 12:49

Ich habe oben leider die Sternchen an den Integralen vergessen. Die Definition sieht also so aus: $$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0_{*}}^{1} f(x,y) dydx = \sup \left\{\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1} ψ(x,y)dydx |ψ \left[0, 1\right]\times \left[0, 1\right] \rightarrow \mathbb{R} \text{ Treppenfunktion mit } ψ\leq f\right\}
$$ $$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1_{*}} f(x,y) dydx = \inf \left\{\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1} φ(x,y)dydx |φ \left[0, 1\right]\times \left[0, 1\right] \rightarrow \mathbb{R} \text{ Treppenfunktion mit } φ\geq f\right\}$$
Eine andere Definition habe ich leider nicht.
  ─   mathe2022 26.06.2022 um 13:01

Zum weiteren Vorgehen lies nochmal den zweiten Satz meines vorigen Kommentars.   ─   mikn 26.06.2022 um 13:09

Ich denke mal, dass ich mir irgendwie Treppenfunktionen wählen muss und dann das Supremum bzw. Infimum des Integrals bestimmen muss. Liege ich da richtig, oder geht das ganze in eine andere Richtung?   ─   mathe2022 26.06.2022 um 13:18

Das ist richtig. Du musst das Integral über eine Treppenfunktion untersuchen, eben das, was in der Mengenklammer steht.
Edit: Ich finde diese Def. wirklich gewöhnungsbedürftig. Denn es ist ja auch erstmal unklar, ob das Integral über die Treppenfunktion überhaupt existiert. Und da sind wir dann doch wieder bei Unter-/Obersummen.
  ─   mikn 26.06.2022 um 13:25

Ich bin gerade dabei mir die Treppenfunktionen zu konstruieren. Hierfür muss ich mir ja zuerst eine Unterteilung wählen. Ich tue mich nur etwas schwer damit dann die Treppenfunktion zu wählen. Diese muss ja irgendwie im Zusammenhang mit f stehen. Gibt es da irgendwie einen Tipp wie ich mir die Treppenfunktion wählen sollte oder soll diese gar nicht konkret sein?   ─   mathe2022 26.06.2022 um 13:46

Hast Du die Def. von integrierbar rausgesucht? Wie lautet die?   ─   mikn 26.06.2022 um 14:02

Ich habe einmal die folgende Definition einer Treppenfunktion:
$φ: F \rightarrow \mathbb{R} \text{ heißt Treppenfunktion, falls es eine Unterteilung Z = } (Q_{1},..., Q_{m})\text{ von F gibt, sodass φ eingeschränkt auf das Innere von } Q_{i} = \text{ konstant} = c_{i}. \text{Sei } μ(Q_{i}) \text{der Flächeninhalt von } Q_{i}. \text{ Dann ist das Integral von φ definiert durch } \sum \limits_{i=1}^{m} c_{i}μ(Q_{i})$
Eine Funktion heißt integrierbar bzw. Riemann-integrierbar, falls das Oberintegral gleich dem Unterintegral ist.
In meiner VL sind Ober bzw. Untersummen leider gar nicht definiert.
  ─   mathe2022 26.06.2022 um 14:13
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Hast Du die Def. von integrierbar rausgesucht? Wie lautet die? Du solltest erstmal rüberkommen zu Unter/Obersummen.
Mach irgendeine Unterteilung konkret zeichnerisch (Skizze). Überleg dann, was der kleinste/größte Funktionswert in den Kästchen ist. Dann summiere.
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Gut, wir brauchen ja nur das Integral über Treppenfunktionen, und das ist eben eine Summe. Also geh vor wie eben gesagt. Unterteilung natürlich in Rechtecke, so dass man es bei x=0.5 aufteilen kann.   ─   mikn 26.06.2022 um 14:23

Okay, wenn ich dann jetzt für $Q_{1}$ die 0 wähle und für $Q_{2}$ die 0,1 dann wäre der größte Funktionswert auf jeden Fall die 1, und der kleinste Funktionswert die 0. Ist das so richtig?   ─   mathe2022 26.06.2022 um 14:34

Ich weiß nicht, was $Q_1$ ist. Wir brauchen Rechtecke. Außerdem wird $f$ nie 0 laut Def.. Skizze!   ─   mikn 26.06.2022 um 14:41

Mach eine Skizze von $[0,1]\times [0,1]$ rasterförmig in Rechteckte zerlegt. Auf der x-Achse sollte x=0.5 ein Gitterpunkt sein. Dann schreib in jedes Kästchen den niedrigsten und den höchsten Funktionswert rein. Dann sieht man schon erste Vereinfachungsmöglichkeiten. Beim Ausrechnen der Unter/Obersumme (die addierten Flächeninhalte mal min/max) wird es ein wenig technisch (hab ich auch nicht bis zuende gerechnet).   ─   mikn 26.06.2022 um 22:43

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