Äquivalenzrelation

Aufrufe: 690     Aktiv: 29.01.2021 um 14:57

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Hallo,

ich verstehe nicht so ganz, wie man eine Äquivalenzrelation bestimmen muss.

Also ich weiß, dass folgende Eigenschaften gelten müssen:

Reflexiv: a~a

Symmetrisch:  Aus a~b folgt b~a

Transitiv: Aus a~b und b~c folgt a~c

Also ich weiß was gemeint ist, aber mir fällt das Anwenden sehr schwer.

Zum Beispiel muss ich für folgende zwei Vorschriften zeigen, ob es eine Äquivalenzrelation ist:

1. x~y <=> x,y gerade

2. x~y <=> x-y gerade

 

Könnte mir einer bitte helfen?

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Für die erste Relation: Gilt für alle \(x\), dass \(x\sim x\)?

Für die zweite:

  • Zu zeigen \(x\sim x\). Ist also \(x-x\) gerade für alle \(x\)?
  • Zu zeigen \(x\sim y\Longrightarrow y\sim x\). Also nehmen wir an, dass \(x-y\) gerade ist. Ist dann auch \(y-x\) gerade?
  • Zu zeigen \(x\sim y,y\sim z\Longrightarrow x\sim z\). Also nehmen wir an, dass \(x-y,y-z\) gerade sind. D.h. \(x-y=2k,y-z=2l\) für passende \(k,l\). Kannst du den Wert von \(x-z\) ausrechnen. Ist dieser gerade?
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Erste Frage: Ja, oder?

Dann zweite Relation:
1. Frage: Ich würde ja sagen.
2. Frage: ja, y-x wäre gerade
3. Frage: Muss ich 2k-2l rechnen?
  ─   anonym390d4 29.01.2021 um 14:37

Zur ersten Aufgabe: Wenn \(x\) ungerade ist, dann gilt nicht \(x\sim x\). Also ist \(\sim\) hier nicht reflexiv.

2.1. Ja, kannst du das auch begründen?
2.2. Bist du dir sicher? Ist z.B. \(x=5,y=3\), dann ist \(x-y=2\) und \(y-x=-2\), auch gerade. Kannst du begründen, dass das immer so ist?
2.3. Fast, aber nicht ganz. Versuche z.B. eine Gleichung nach \(y\) umzustellen und sie in die andere einzusetzen.
  ─   stal 29.01.2021 um 14:45

Ich wollte eben noch meine Antwort korrigieren. Genau 2.2 hatte ich falsch. y-x ist gerade.
Zu 2.1 könnte man das Beispiel x=0 nehmen und 2-2=0 und 0 ist gerade.

Aber bei der ersten Aufgabe steht ja, dass x, y gerade ist..deswegen hätte ich gesagt, dass das reflexiv ist


Oh mir ist aufgefallen, dass ich nicht geschrieben habe, dass man zeigen muss, dass die Vorschriften eine ÄR auf die Menge der natürlichen Zahlen definiert.
  ─   anonym390d4 29.01.2021 um 14:50

Ich verstehe die erste Aufgabe so, dass \(x\sim y\) genau dann gilt, wenn \(x\) und \(y\) gerade sind. Dann gilt \(1\not\sim 1\), denn \(1\) ist ungerade.

Genau, bei 2.1. ist die richtige Begründung, dass \(x-x=0\) gerade für alle \(x\) ist, also ist \(x\sim x\).
Wie du sagst, ist \(x-y\) gerade, dann ist auch \(y-x)=-(x-y)\) gerade, denn es ist die gleiche Zahl, nur negativ, was nichts an der Parität ändert.
  ─   stal 29.01.2021 um 14:57

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