Seien \(a \in (0,1) \) und \(b \in (1,\infty)\) beliebig. Mithilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung erhält man für ein \( \xi_a \in [a,1] \)

\( \int_a^1 \vert \frac{\cos(x)^5}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} \vert dx = \int_a^1 \frac{\vert \cos(x)^5 \vert}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} dx = \frac{\vert cos(\xi_a)^5 \vert}{e^{\xi_a}} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx \le \int_a^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2} \)

und für ein \(\xi_b \in [1,b]\)

\( \int_1^b \vert \frac{\cos(x)^5}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} \vert dx = \int_1^b \frac{\vert \cos(x)^5 \vert}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} dx = \frac{\vert cos(\xi_b)^5 \vert}{\sqrt[3]{\xi_b}} \int_1^b \frac{1}{e^x} dx \le \int_1^b \frac{1}{e^x} dx = \frac{1}{e}-\frac{1}{e^b} \)

Hieraus folgt dann

\( \vert \int_0^\infty \frac{\cos(x)^5}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} dx \vert \) \( \le \int_0^\infty \vert \frac{\cos(x)^5}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} \vert dx \) \( = \lim_{a \to 0} \int_a^1 \vert \frac{\cos(x)^5}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} \vert dx + \lim_{b \to \infty} \int_1^b \vert \frac{\cos(x)^5}{e^x \cdot \sqrt[3]{x}} \vert dx \) \( \le \lim_{a \to 0} (\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2}) + \lim_{b \to \infty} ( \frac{1}{e} - \frac{1}{e^b}) \) \( = \frac{3}{2} + \frac{1}{e} \)