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Aufgabenstellung

Stellen Sie sich vor: 
Sie sind 30 Jahre alt und wollen noch 60 Jahre leben. Die Restlebenszeit soll sich wie 
folgt aufteilen: Die ersten 40 Jahre bilden die Erwerbsphase (Phase I). 

Die 20 Jahre danach bilden die Rentenphase (Phase II). Fur Phase II muss privat vorgesorgt werden. Sie sparen also aus Ihrem Gehalt jeweils am Ende eines jeden Monats fur Phase II. Innerhalb von Phase II beziehen Sie die monatlichen Zahlungen jeweils zu Beginn eines jeden Monats. 

Die weiteren Eckdaten lauten wie folgt: 
Sie konnen diesen Vorgang uber eine staatliche Institution abwickeln. Es fallen dabei keine 
Gebuhren an. Sie leben ferner in einer Welt mit Preisstabilitat: Die Inflationsrate betragt 
also Null Prozent. Der Staat bietet Ihnen eine Verzinsung von 0,6 Prozent pro Jahr fur 
den gesamten Planungszeitraum; Die Zinsperiode ist das Kalenderjahr. 


Nun zur eigentlichen Fragestellung: 
Welchen Betrag mussen Sie monatlich in Phase I sparen, wenn Sie in Phase II monatliche 
Zahlungen in Hohe von 1.500 Euro beziehen wollen? 

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am besten rechnest du erstmal aus, wieviel Geld (K) zu Beginn der Rentenphase da sein muss um monatlich 1500 € (=a) auszuzahlen.

bilde mal den Anfang der Reihe:

Beginn der Rentenphase =0 Vorhanden K; ausgezahhlt wird (vorschüssig) a==> Kapital (K-a) wird verzinst mit Monatszinssatz \({ 0,006 \over 12}=0,0005\) ==> q=1,0005 ==> Kapital am Ende des ersten Monats : \((K-a)*q\)

zu Beginn des 2.Monats wird wieder ausgezahlt \( (K-a)*q-a \) und am Ende des Monats verzinst \( ((K-a)*q -a)*q= K*q^2 -a*q^2 -a*q\) und so jeden Monat weiter

Das ergibt für m Monate die Formel :\( K*q^{m} - a*q^{m} - aq^{m-1}-   -a*q^1= K*q^{m} -a*\sum_{i=1}^{m}q^{i}= K*q^{m}-a *q*\sum_{i=0}^{m-1}q^{i}=K*q^{m}-a*q*{q^m-1 \over q-1} \).

Am Ende der Auszahlungen ist das Restkapital =0 : Also kannst du jetzt das Anfangskapital K ausrechnen :

\(K={a*q* \over q^m}*{q^m -1\over q-1}\)

Im nächsten Schritt musst du ausrechnen, wieviel man jeden Monat über 40 Jahre einzahlen muss, um auf diesen Betrag (mit Verzinsung) zu kommen. 

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