DGL 2. Ordnung

Erste Frage Aufrufe: 104     Aktiv: 06.01.2022 um 02:07

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Bei b) bin ich auf die Form

gekommen, doch wie löse ich diese nun?
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Was hast Du in b) gemacht? Das ist keine Dgl, noch nicht mal eine Gleichung  (wo ist das Gleichheitszeichen?). Du hast anscheinend die Lösung aus a) in 2d umgeschrieben. Darum geht es aber nicht.
Transformiere die Dgl in eine 2d-Dgl erster Ordnung. Die Lösung davon könnte (hab ich nicht nachgerechnet) das sein, was Du unter b) hingeschrieben hast ($C_1...$).
Davon abgesehen erwarten wir bei einer reellen Dgl auch eine reelle Lösung.
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Nein, ich habe zuerst die Gleichung substituiert (für y = y0, y' = y1) und daraus ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen gemacht. Danach habe ich das Gleichungssystem als Matrix aufgeschrieben und die Determinante der (Matrix - Einheitsmatrix) = 0 gesetzt für den jeweiligen Eigenwert. Daraus dann die zwei Eigenvektoren berechnet und in die Form C1*e^(lambda*t) * Eigenvektor + C2*e^(lambda*t) * Eigenvektor = (y0, y1) gebracht. Doch weiter weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.   ─   worthlesssorry 05.01.2022 um 19:26

Achso, dann geht es aber nicht um "Lösen" (ist ja nichts zu lösen), sondern um "Umformen". Die Lösung der Dgl (der aus a)) ist dann nur das y0. Also muss nur noch von der komplexen in die reelle Form umgerechnet werden. Also $e^{-t}$ ausklammern, Eulersche Formel anwenden, ausmultiplizieren/zusammenfassen und wenn alles gut geht, bleibt was rein reelles übrig.   ─   mikn 05.01.2022 um 20:13

Hab das mit der Eulerform e^x+yi = e^x * (cos y + i*sin y) gemacht wie du gesagt hast - bin jetzt bei
I: C_1*e^-t*(-1, 2) + C_2*e^-t*(-1, 0) = 1 und
II: C_1*e^-t*(1, 0) + C_2*e^-t*(-1, 2) = -1 gelandet.

Kann ich daraus C1 und C2 berechnen?
  ─   worthlesssorry 05.01.2022 um 21:16

Da sind wir schonmal weiter. Aber da passt was nicht: Das sind doch Vektoren auf der linken Seite. In der von Dir gefundenen Form (aus Deiner Frage ganz oben) steht doch in der ersten Komponente y0=y und in der zweiten y1=y'. Also: aufspalten und dann die Anfangsbedingungen einsetzen. Gibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (C1, C2).   ─   mikn 05.01.2022 um 21:34

Aber wie bekomme ich die Vektoren auf der linken Seite weg? Ich habe die Gleichung I als y(t) und die Gleichung II als y'(t) angenommen.   ─   worthlesssorry 05.01.2022 um 22:17

Hab ich doch gesagt, aufspalten in 1. und 2. Komponente. Deine Gleichung I hat links nen Vektor und rechts ne Zahl.   ─   mikn 05.01.2022 um 22:27

Ich weiß leider nicht was Du mit "aufspalten" meinst... Und brauche ich überhaupt y'(0) = -1? Da es sich ja jetzt nur um Gleichungen 1.Ordnung handelt.   ─   worthlesssorry 05.01.2022 um 22:35

Einen Vektor aus R^2 in 1. und 2. Komponente aufspalten. Wie lautet die 1. Komponente der 2d-Funktion aus der Form in Deiner Frage ganz oben und wie die zweite? Nach umrechnen ins reelle.
Bitte nur diese Frage beantworten.
  ─   mikn 05.01.2022 um 23:06

y(t) = C1 * e^-t * Vektor((cos t) (-cos t - sin t)) + C2 * e^-t * Vektor((sin t) (cos t + sin t))
nach umrechnen ins reelle. Die 1. Komponente ist jeweils cos t und sin t oder?
  ─   worthlesssorry 05.01.2022 um 23:18

Wieso steht da "Vektor" drin?
Beispiel: Die erste Komponente des Vektors (2,3) ist 2, und die zweite ist 3. Ich dachte das wäre klar.
Und (sorry, ich korrigiere das Vorgehen) wir bleiben erstmal komplex (reell wird es erst nach Benutzen der Anfangswerte), also genau in der von Dir ganz oben angegebenen Form.
Also: Erste Komponente lautet? Zweite?
  ─   mikn 05.01.2022 um 23:52

Damit klar ist, dass es sich um einen Vektor handelt.

Ich habe das oben verworfen und bin mit e^(-1+i)t * Vektor((1) (-1+i)) weiter vorgegangen.
Da bekomme ich e^-t * ( Vektor((cos t) ((-1+i)cos t)) + Vektor((i*sin t) (-1+i)sin t))
raus. 1. Komponente jeweils cos t und i*sin t
2. Komponente jeweils (-1+i)cos t und (-1+i)sin t
  ─   worthlesssorry 06.01.2022 um 00:02

Die Komponenten eines Vektors sind keine Vektoren. Die erste Komponente von (2,3) ist ja auch nicht Vektor(2).
Ich hatte gesagt, komplex bitte. Ich glaube Du weißt gar nicht, was Du in der Frage oben ausgerechnet hast, dieses "bin ich auf die Form gekommen": Dir ist anscheinend nicht klar, dass da ein Vektor mit 2 Komponenten steht. Solange das nicht klar ist, kommen wir nicht weiter. Hast Du das wirklich selbst ausgerechnet? Solange
  ─   mikn 06.01.2022 um 00:13

Mit dem Wort "jeweils" meine ich für Vektor 1 und Vektor 2. Natürlich ist klar, dass die Komponenten eines Vektors keine Vektoren sind. Und mit der 1. Komponente der jeweiligen Vektoren soll man das Gleichungssystem I bilden, bzw. mit der 2. (abgeleitet) das Gleichungssystem II, so meinst Du das doch, oder nicht?

I: C1*e^-t * cos t + C2*e^-t * sin t = 1 mit y(0) = 1 dann C1 = 1
II: C2*e^-t * sin t - cos t + C2*e^-t * -sin t + cos t = -1 mit y'(0) -1 dann C2 = 0
  ─   worthlesssorry 06.01.2022 um 00:24

Ja, so meinte ich das. Aber du machst doch was anderes. Zum dritten Mal: komplex bitte, auf deine Form ganz oben bezogen.   ─   mikn 06.01.2022 um 00:52

Schon gut, ich brech das Studium ab.   ─   worthlesssorry 06.01.2022 um 02:07

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