Untervektorräume

Aufrufe: 604     Aktiv: 25.02.2022 um 17:45

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Ich soll in einer Aufgabe jeweils zwei verschiedene Untervektorräume für R^2. und R^3 angeben.
ich habe es so gemacht, dass ich jeweils zwei mal die Untervektorräume angegeben habe, von der Funktion.         f(x) = A * x . Einmal den Kern von f und einmal das Bild von f

also   U =  x Element K : A * x = 0     Kern f

und    U =  x Element K : A * x            Bild f

jetzt habe ich mir einfach verschiedene Matrizen ausgedacht, welche lineare unabhängige Spaltenvektoren haben. 
Bei der Begründung, dass es UVR sind habe ich angegeben, dass sie die 3 Kriterien erfüllen ( nullvektor Element von u,  abgeschlossen bzgl. Addition , abgeschlossen bzgl. skalare Multiplikation)

jetzt muss ich noch eine Basis für meine UVR angeben.
kann ich hier nicht einfach, für jeden UVR , die Standardbasis angeben ? Ich wollte mir die Rechnung sparen, um zu zeigen, dass die Vektorem linear unabhängig sind um diese dann als UVR anzugeben.

ist das bis jetzt so alles richtig oder habe ich irgendwo Fehler gemacht ? Bin noch sehr unsicher bei diesem Thema.

MfG

EDIT vom 25.02.2022 um 15:50:

(Hier sind meine Notizen)

EDIT vom 25.02.2022 um 15:52:

das erste Bild hat glaube ich nicht geladen, deshalb habe ich es hier nochmal hinzugefügt 

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Wenn du so vorgehst musst du erstmal aufpassen welche Größe deine Matrix hat,  es muss entweder eine \(2\times 3\) oder \(3\times 2\) Matrix sein. Du hast dann Recht, dass es sich bei Kern und Bild um einen Untervektorraum handelt. Du kannst aber nicht in beiden Fällen die Standardbasis nehmen. Arbeite jetzt mit dem Rangsatz (du kannst für das Bild nur die Standardbasis nehmen, wenn du eine \(2\times 3\) Matrix mit linear unabhängigen Spaltenvektoren hast). An deiner Stelle hätte ich einfach \(\mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^3\) als UVR angegeben und dann hätte die Standardbasis auch bei beiden geklappt, man kann sich auch überlegen, dass \(\mathbb{R}^2\) ein UVR von \(\mathbb{R}^3\) ist. Wenn du mir sagst, wie deine Matrix aussieht, kann ich dir bei der Basis besser helfen, so müsste ich jetzt viele Fälle durchgehen.
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Vielen Dank für die Hilfe , ich habe gerade meine Notizen hinzugefügt. Ich verstehe jedoch nicht, warum es eine 2x3 oder 3x2 Matrix sein muss ? (Im R^2 brauche ich doch mind. 2 linear unabhängige Spaltenvektoren, also würde doch eine 2x2 Matrix reichen (eine 3x2 Matrix wäre doch immer überflüssig, da einer der Vektoren linear abhängig sein müsste, weil es 3 Vektoren sind und die Dimension nur 2 ist. Bei R^3 wäre eine 3x2 Matrix doch garnicht möglich, da ein Vektor fehlen würde, welcher die Höhe bringt.) ???
Und die letzte Frage wäre noch, die Standardbais mit jeweils einer 1 und der Rest 0, diese Stamdardbasis könnte man doch für jede beliebige Matrix oder vektorrau, angeben oder nicht ?
  ─   mbstudi 25.02.2022 um 15:58

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Eine Abbildung von \(\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}^2\) wird immer durch eine \(2\times 3\) Matrix beschrieben, jede Spalte ist das Bild eines Basisvektors, also \(3\) Spalten wegen drei Basisvektoren von \(\mathbb{R}^3\). Es gibt allerdings \(2\) Zeilen, weil jedes Bild von diesen Basisvektoren im \(\mathbb{R}^2\) ist, also zwei Koordinaten hat. Analog brauchst du für eine Abbildung von \(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\) eine \(3\times 2\) Matrix.

Betrachte den Vektorraum, der von den Vektoren \((1,0,0)^t, (0,1,1)^t\) erzeugt wird, dieser ist ein 2-dimensionaler Unterhaus des \(\mathbb{R}^2\), trotzdem kann man hier keine Standardbasis wählen (rechne das ruhig nach).
  ─   mathejean 25.02.2022 um 16:12

Ich sehe gerade, dass du für die Beispiele mit zwei unterschiedlichen Abbildungen arbeiten willst, das ist dann aber sehr umständlich und auch schwierig nachvollziehbar, da dass nicht sauber gekennzeichnet wurde.   ─   mathejean 25.02.2022 um 16:17

Ja ich bin noch sehr unsicher in diesem Thema , daher auch die ganzen Fehler und fragen. Ich verstehe gerade nur nicht bei deinem Beispiel mit dem Unterhaus des R^2 , warum man keine standardbasis wählen kann? Ich dachte eine Basis sind die linear unabhängigen Vektoren die einen Vektorraum aufspannen(die beiden Vektoren sind ja linear unabhängig). Mit Standardbasis ist soweit ich verstanden habe, eine Basis gemeint, wo die Vektoren alle aus Koordinaten mit jeweils einer 1 stehen(Für x,y,z…) und die anderen Koordinaten 0 sind. ???   ─   mbstudi 25.02.2022 um 17:12

Versuch doch mal zu zeigen, dass in meinem Beispiel die Standardbasis eine Basis ist, dann siehst du woran es scheitert   ─   mathejean 25.02.2022 um 17:45

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