Aufstellen einer Ebene, die einen vorgegebenen Winkel mit einer anderen Ebene einschließt

Aufrufe: 490     Aktiv: 20.04.2022 um 18:13
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Wie geht man hier vor?

Geben Sie die Gleichung einer Ebene E an, die einen 45° Winkel mit der Ebene F: 7x+4y-z+11=0 einschließt.
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1 Antwort
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Der Winkel zwischen Ebenen ist der Winkel zwischen deren Normalenvektoren (ich kann Dir da (und nicht nur da) eine Internetsuche empfehlen, da steht das in wenigen Sekunden da).
Suche also irgendeinen Vektor, der mit dem geg. NV den gewünschten Winkel einschließt, und baue daraus irgendeine Ebene.
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Lehrer/Professor, Punkte: 32.91K

 
Das ist mir durchaus bewusst, nur wie finde ich den Vektor, der mit dem gegebenen Normalenvektor den Winkel 45 Grad einschließt?   ─   user182682 19.04.2022 um 14:56
@user182682 die Formel die mikn meint ist die sicher bekannt … als Tipp es ist $\cos(45^{\circ})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ … damit solltest du durch ein wenig probieren ein Vektor finden   ─   maqu 19.04.2022 um 19:14
Tut mir leid, dass ich es nicht genau geschildert habe. Ich brauche nun also einen von vielen Vektoren, die mit dem Normalenvektor von F (n= (7/4/-1)) den Winkel 45 Grad einschließen. Die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren ist mir auch bekannt. Nur wie löse ich die Gleichung: (Skalarprodukt: nf * unbekannter Normalenvektor)/(Beträge der beiden miteinander multipliziert) richtig nach dem unbekannten Vektor auf? Ich habe doch zu viele Unbekannte oder nicht?   ─   user182682 19.04.2022 um 20:27
* diese Gleichung natürlich noch = cos(45°) gesetzt   ─   user182682 19.04.2022 um 20:28
Schau dir erstmal den Betrag des Normalenvektors an. Angenommen $\vec{n}_1$ bezeichne den Normalenvektor der gegeben Ebene und $\vec{n}_2$ deinen gesuchten Normalenvektor. Was ist $|\vec{n}_1|$? Und wie muss dann $|\vec{n}_2|$ sein, damit $\sqrt{2}=|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|$ gilt? Beachte hierbei das Wurzelgesetz.   ─   maqu 19.04.2022 um 20:46
@mikn ich verstehe nicht so recht, worauf Du hinauswillst. An folgender Stelle komme ich nicht weiter: ((7/4/-1) * nE) / (Wurzel(66) * Betrag (nE)) = 1/Wurzel(2)
Könnt ihr mir von diesem Punkt an eine Lösung sagen?   ─   user182682 19.04.2022 um 21:37
1. Beliebig viele, da es auch beliebig viele Normalenvektoren gibt
2. Die Gleichung mit dem Cosinus hat mMn 3 unbekannte
3. Ich habe keine Ahnung, das ist ja meine Frage, und ich wäre sehr dankbar für eine Lösung. Ich schätze dein Engagement sehr, aber hätte ich eine Lösung, könnte ich das ganze viel besser nachvollziehen.   ─   user182682 20.04.2022 um 07:25
Frage 2: Sie hat 3 Unbekannte aber man kann 2 davon beliebig wählen, um die dritte zu erhalten? Ist das die Lösung?
Es müssten theoretisch unendlich viele Gleichungen sein, oder?   ─   user182682 20.04.2022 um 12:33
Ich komme auf folgende Gleichung, die ich nicht zu lösen weiß:

7*x+4*y-z = (Wurzel(66)*Wurzel(x^2 + y^2 + z^2)) * 1/Wurzel(2)   ─   user182682 20.04.2022 um 16:36
Bitte zeig mir einen Lösungsweg, ich kann das so viel besser nachvollziehen. Ich muss wirklich weiterkommen und habe für diese Aufgabe schon zu viel Zeit verwendet   ─   user182682 20.04.2022 um 16:51
1 Gleichung, 3 Unbekannte?   ─   user182682 20.04.2022 um 17:17
Vergleiche doch mal Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Dann hast du schon einmal zwei Gleichungen: $1=\ldots$ und $\sqrt{2} = \sqrt{66} \cdot |\vec{n}_2|$.
Hast du eine Idee wie du auf eine dritte Gleichungen kommen kannst?   ─   maqu 20.04.2022 um 17:40
Ahhh! Nein, für die dritte Gleichung habe ich keine Idee   ─   user182682 20.04.2022 um 17:47
Endlich habe ich es verstanden und eine herausbekommen, für die der Winkel 45° wird! Vielen lieben Dank!   ─   user182682 20.04.2022 um 18:03
Noch ein kurzer Nachtrag: den Aufpunkt kann man ja beliebig wählen, oder? Also beispielsweise den Ursprung.   ─   user182682 20.04.2022 um 18:05
Ich war gerade eben auf Ihrem Profil und möchte mich für das automatische Duzen entschuldigen. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit nehmen/genommen haben!   ─   user182682 20.04.2022 um 18:10

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.