Simplex - graphisch

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 29.06.2021 um 09:59

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Hallo zusammen,
leider verstehe ich das Thema Simplex/lineare Optimierung kaum und habe demnach Probleme Graphen zu intepretieren. Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand diese 3 Abbildungen erklären könnte bzw. welche Antwort richtig wäre.
Vielen Dank 
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Der Sinn von Optimierungsproblemen ist ja, einen Punkt zu finden, der maximal unter der Zielfunktion ist und gewissen Nebenbedingungen genügt. In der Linearen Optimierung bilden die Nebenbedingungen ein "Vieleck" (z.B. in zwei Dimensionen), das in deinen Bildern grob schraffiert ist. Eine Lösung des Optimierungsproblems ist also ein Punkt, der in dieser Fläche (inklusive dem Rand) liegt und maximal bzgl. der Zielfunktion ist. Die Zielfunktion ist ebenfalls linear und in deinen Bildern als Gerade eingezeichnet. Alle Punkte, die auf der roten Gerade liegen, haben den gleichen Wert der Zielfunktion. Verschiebst du die rote Gerade parallel nach rechts, dann erhöht sich der Wert der Zielfunktion.
Um ein Optimierungsproblem also graphisch zu lösen, verschiebe diese rote Gerade solange nach rechts, bis sie gerade noch den Rand des zulässigen Bereichs berührt. Dann gibt es vier Fälle:
  1. Die Zielfunktions-Gerade schneidet dann den zulässigen Bereich in genau einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs. Das ist dann die eindeutige Lösung des Optimierungsproblems.
  2. Die Zielfunktions-Gerade schneidet den zulässigen Bereich in einer ganzen Seite des zulässigen Vielecks, dann ist jeder Punkt auf dieser Seite eine Lösung und es gibt unendlich viele Lösungen.
  3. Du kannst die Zielfunktion unendlich weit nach rechts schieben, ohne dass die Gerade je den zulässigen Bereich verlässt. Dann gibt es keine optimale Lösung.
  4. (Dieser Fall ist ein bisschen dumm) Der zulässige Bereich kann auch einfach leer sein, in diesem Fall gibt es natürlich auch keine Lösung.
Jetzt schau doch selbst, welcher Fall in welchem deiner Bilder auftritt. Verschieb die rote Gerade soweit wie möglich nach rechts, ohne den schraffierten Bereich zu verlassen. Welcher Fall tritt dann ein? Dementsprechend kannst du dann die Antwort auswählen.
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Hallo stal,
danke für deine schnelle Antwort. Leider waren die Lösungen laut meinem Proff nicht ganz richtig.
1) sei nicht lösbar
2) hat unendlich viel Lösungen
3) ist eindeutig lösbar
  ─   mathe-otto 29.06.2021 um 09:53

Genau. Bei der 1) kannst du doch die rote Gerade beliebig weit nach rechts verschieben und bleibst immer im schraffierten Bereich, also sind wir in Fall 3. und es gibt keine optimale Lösung.
2) Wenn du hier die rote Gerade soweit wie möglich verschiebst, liegt sie genau auf der Gerade von der Nebenbedingung 3, d.h. wir sind hier im Fall 2. und es gibt unendlich viele Lösungen.
3) Wenn du hier die rote Gerade soweit wie möglich verschiebst, dann schneidet sie den zulässigen Bereich nur noch in dem Schnittpunkt von NB1 und NB2, d.h. wir sind im Fall 1. und es gibt eine eindeutige Lösung.
  ─   stal 29.06.2021 um 09:59

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