Gewöhnliche und lineare Differentialgleichungen

Aufrufe: 582     Aktiv: 10.10.2022 um 12:15
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Was ist denn der Unterschied zwischen einer gewöhnlichen und einer linearen DGL? Die Definitionen in unserem Skript verstehe ich leider absolut nicht, außer dass eine lineare DGL immer auf diese Form gebracht werden kann: y'=a(x)y+b(x) (eine gewöhnliche DGL kann also scheinbar diese Form nicht annehmen) und, dass die DGL homogen ist, falls b(x)=0.
Ich bereite mich für meine Modulprüfung in Ana I&II vor und habe in einer alten MP diese Frage gefunden, die ich leider nicht beantworten kann:
Wie lautet die allgemeine Form einer gewöhnlichen, linearen, homogenen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Bei diesem Bild verstehe ich allein schon nicht, wie man sich y^(n)=f(t, y, y', ..., y^(n-1)) vorstellen soll, eine Funktion mit Variablen t, y, y' usw. oder wie ist denn das gemeint? Außerdem: Ist implizit = homogen?

Bei diesem 2ten Bild handelt es sich um die Definition von linearen DGL.

Wenn jemand gute Videos zu DGL kennt, schau ich mir auch gerne erstmal das an, weil im Moment verstehe ich sicherlich noch nicht genug davon...
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1 Antwort
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Die Frage nach dem Unterschied passt nicht. Du brauchst dafür auch nur die Def. aus dem Skript (im ersten Absatz Deiner Frage).
Eine lineare Dgl ist eine spezielle gewöhnliche Dgl, denn $y'=f(t,y)$ (Def. 10.1 mit $n=1$) mit $f(t,y)=a(t)y+b(t)$. Wg. n=1 sagt man auch "gew. Dgl. erster Ordnung". Def. 10.1 liefert allgemein n-te Ordnung, wie würde die Dgl. gemäß Def. 10.1 mit $n=2$ und $f(t,a,b)=t\cdot a +b^2$ aussehen (kleine Ü-Aufgabe um zu sehen, ob Du's verstehst)?
"Explizit" heißt es, wenn nach der höchsten Ableitung aufgelöst ist (steht links alleine, rechts kommen nur die niedrigeren Ableitungen vor.
"Implizit", wenn nicht aufgelöst ist, z.B. $(y')^2+e^{y'}+y(t)=0$, wie würde hier, passend zu Def. 10.1, das $F$ aussehen (nächste Ü-Aufgabe)?
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Also zur 1. Übungsaufgabe: Die Definition 10.1 mit n=2 lautet y''=f(t,y,y') bzw. y''+a1(t)y'+a0(t)y=b(t). (a1, a0 mit 1 und 0 im Index).
Und zur 2. Übungsaufgabe: F(t, y, y')=0.   ─   emiliahlg 05.10.2022 um 19:53
Dann war es nicht richtig?   ─   emiliahlg 05.10.2022 um 22:24
1. y''=at+b?
2. Weiß ich leider nicht.
Ich verstehe nicht ganz, was du genau von mir möchtest, weil wenn ich die Beispiele in die Definition 10.1 einsetze, kommt eben was mit f und F vor, weil die Definitionen mit f und F sind... Ich verstehs leider noch nicht, vllt kannst du mir noch einen Tipp geben...   ─   emiliahlg 06.10.2022 um 10:16
y''=ta+b^2?   ─   emiliahlg 10.10.2022 um 11:16

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.