Signum einee Permutation

Aufrufe: 64     Aktiv: 28.07.2021 um 20:15

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Wie berechnet man das Signum einer Permuation? Im Internet steht, dass man das anhand der Fehlständen machen kann, aber leider verstehe ich diesen Weg nicht. Kann mir das einer anhand eines Beispiels erklären?

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Zunächst die Definition:
Wenn \( i<j \) und \( \pi(i)>\pi(j) \) ist, dann ist \( (i,j) \) ein Fehlstand.

Damit können wir nun alle Fehlstände einer Permutation bestimmen. Betrachten wir dazu beispielsweise \( \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \).
\( (1,2) \) ist kein Fehlstand, denn \( \pi(1)=1 <3= \pi(2) \).
\( (1,3) \) ist kein Fehlstand, denn \( \pi(1)=1 <4= \pi(3) \).
\( (1,4) \) ist kein Fehlstand, denn \( \pi(1)=1<2=\pi(4) \).
\( (2,3) \) ist kein Fehlstand, denn \( \pi(2)=3<4=\pi(3) \).
\( (2,4) \) ist ein Fehlstand, denn \( \pi(2)=3>2=\pi(4) \).
\( (3,4) \) ist ein Fehlstand, denn \( \pi(3)=4>2=\pi(4) \).
Die Fehlstände sind also \( (2,4) \) und \( (3,4) \). Damit ist \( sgn(\pi)=(-1)^2=1 \).

Ist das Vorgehen nun klar?
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Student, Punkte: 6.05K

 

Ich habe es jetzt verstanden, vielen Dank!   ─   anonym390d4 28.07.2021 um 20:13

Sehr gerne. Freut mich, wenn ich helfen konnte :)   ─   anonym83bed 28.07.2021 um 20:15

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