Hallo,

Limes bedeutet das wir einen Grenzwert betrachten. Wir überlegen uns nicht wie wir es vorher immer getan haben, was ist wenn \( x \) gleich einer Zahl ist sondern was passiert wenn \( x \) immer näher an einen Ausdruck heran kommt. Dadurch können wir auch mit Ausdrücken rechnen die eigentlich nicht definiert sind. Zum Beispiel durch Null teilen oder überprüfen was im unendlichen passiert.

$$ \lim\limits_{t \to \infty} -e^{-t} $$

bedeutet nun das wir \( t \) immer größer werden lassen. Wir schreiben unseren Ausdruck erstmal um

$$ -e^{-t} = -\frac 1 {e^t} $$

Wenn wir nun in \( e^t \) ein sehr sehr große Zahl einsetzen, dann wir der Ausdruck \( e^t \) auch immer größer.

$$ e^2 \approx 7,39 \\ e^{10} \approx 22026,47 \\ e^{100} \approx 2,69 \cdot 10^{43} $$

Das letzte Zahl ist größer als die Zahl \( 2 \) mit \( 43 \) Nullen.

Du siehst also, dass \( e^t \) für größer werdende Zahlen selbst immer größer wird. Im Grenzfall geht diese Zahl gegen unendlich.

Nun haben wir aber den Kehrwert. Wenn wir durch eine immer größere Zahl teilen, dann wird die Zahl die wir erhalten immer kleiner.

$$ \frac 1 1 = 1 \\ \frac 1 {10} = 0,1 \\ \frac 1 {100} = 0,01 $$

Also geht letztendlich der Ausdruck 

$$ \frac 1 {e^t} = e^{-t} $$

für immer größer werdene \( t \) gegen Null.

Grüße Christian