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Die geometrische Verteilung leitet sich aus der Idee des Bernouli Experimentes her. Es gibt im Bernouli-Experiment nur zwei mögliche Ausgänge. Das Eintreten eines Ereignisses oder das nicht eintreten.
Bei der geometrischen Verteilung nutzt man die selbe Grundlage, nur überlegt man sich wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ereignis nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen eintritt.
Somit hat die geometrische Verteilung nur einen Parameter, nämlich die Wahrscheinlichkeit p. p steht für die Wahrscheinlichkeit dass das Ereignis eintritt und p-1 das es nicht eintritt ( Manchmal wird für q=p-1 genutzt).
Die geometrische Verteilung kann auf 2 Arten definiert werden, deshalb unterscheiden sich vielleicht die Quellen.
- Das Ereignis tritt nach n Versuchen auf
- Das Ereignis tritt nach n Misserfolgen auf
Bei der ersten Variante gilt für die Wahrscheinlichkeit
\( P(n)= p \cdot (1-p)^{n-1} \)
Du kannst dir an einem Baumdiagramm leicht veranschaulichen warum diese Wahrscheinlichkeit gilt. Du hast zuerst n-1 Misserfolge und beim n-ten Versuch tritt das Ereignis ein.
Für die zweite Variante gilt
\( P(n)= p \cdot (1-p)^{n} \)
Hier tritt der Erfolg ein nachdem man n Misserfolge hatte. Also hat man erst beim n+1 mal einen Erfolg.
Ich werde im folgenden die erste Variante nehmen.
Kommen wir zur Verteilungsfunktion.
Die Verteilungsfunktion ist definiert über
\( F(X) = \sum P(x_i) \)
Angewandt auf unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion erhalten wir
\( F(X \leq n) = p \sum_{i=1}^n (1-p)^{i-1} \)
Kommen wir jetzt zu deiner Aufgabe.
Wir betrachten die Aufgabe folgendermaßen. Wir wollen wissen wann alle Glühbirnen kaputt sind. Da im Schnitt ein Zehntel der Lampen kaputt sind, belegen wir die Wahrscheinlichkeit dass das Ereignis "Alle Glühbirnen sind kaputt" eintritt mit p=0,1. Somit ist (1-p)=0,9 die Wahrscheinlichkeit dass Ereignis nicht eintritt.
Nun ist als erstes gefragt, wie viele Glühbirnen nach 3 Jahren kaputt sind. Wir rechnen also
\( F(X \leq 3) = 0,1 \cdot \sum_{i=1}^3 0,9^{i-1} = 0,1 \cdot (1+0,9+0,81) = 0,271 \)
Es sind nach dem dritten Jahr also zu 0,271% alle Lampen kaputt. Würde man das auf beispielsweise 1000 Lampen beziehen, würde das bedeuten das im Schnitt 271 Lampen kaputt sind nach 3 Jahren.
Klappt es jetzt mit dem zweiten Teil der Aufgabe?
Sind noch Fragen offen?
Grüße Christian
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Grüße Christian ─ christian_strack 16.11.2018 um 01:27
Lieben Gruß Sam ─ anonym1e9b6 26.11.2018 um 02:47
$$\mathring{x}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}} \tag{1}$$
Das funktioniert hier aber nicht, ud zwar aus einem sehr einfachen Grund: Wenn ich wissen will, wieviele Lampen am Ende des ersten, des zweiten und des dritten Jahres noch übrig sind, dann habe ich in jedem der Jahre den Faktor 0,9. Das geometrische Mittel würde jetzt den konstanten Faktor ermitteln, mit dem ich zum Endergebnis nach drei Jahren komme. Der ist aber 0,9, was ich vorher schon wusste:
$$\mathring{x}=\sqrt[3]{0,9\cdot0,9\cdot0,9}=\sqrt[3]{0,9^{3}}=0,9 \tag{2}$$
Etwas anderes lässt sich aber sehen: um zu ermitteln, wie groß der Anteil der Lampen ist, die am Endes des dritten Jahres noch übrig sind, brauche ich nur folgendes zu rechnen:
$$0,9\cdot0,9\cdot0,9=0,9^{3}=0,729 \tag{3}$$
Das bedeutet: wenn am Anfang 1000 Lampen vorhanden waren, dann sind nach drei Jahren noch 729 funktionsfähig. Christian hatte umgekehrt die Anzahl der Lampen berechnet, die nach drei Jahren kaputt sind, nämlich 271 von 1000. 729 Lampen + 271 Lampen = 1000 Lampen.
Die zweite Frage ist, nach wieviel Jahren nur noch die Hälfte aller Lampen übrig ist, wenn per anno konstant 10 Prozent kaputt gehen. Wei es hier einen konstanten Faktor gibt, nämlich 0,9 per anno, kann die Frage so formalisiert werden:
$$0,9^{x}=0,5 \tag{4}$$
Dazu ein Hinweis: wenn \(2^{3}=8\) ist, dann ist \(\log_{2}8=3\).
Viele Grüße
jake2042 ─ jake2042 08.08.2019 um 12:32
Aufgabenstuung
Aufgabenstellung
Das funktioniert hier aber nicht, ud zwar aus einem sehr einfachen Grund: [...]
Das funktioniert hier aber nicht, und zwar aus einem sehr einfachen Grund: [...]
Wei es hier einen konstanten Faktor gibt, [...]
Weil es hier einen konstanten Faktor gibt, [...]
─ jake2042 08.08.2019 um 12:36
Lieben Gruß
Sam ─ anonym1e9b6 16.11.2018 um 00:47